Geometric Construction and Demonstration of the Law of Cosines

2014-09-23 04:17

This applet demonstrates the geometric construction and derivation of the Law of Cosines. By constructing a triangle with its sides and angles, and utilizing geometric elements such as vectors and segment projections, it visually illustrates the geometric meaning of the formula c² = a² + b² - 2ab·cosθ. It is suitable for teaching trigonometry and plane geometry, helping students deeply understand

#triangle #trigonometry #geometry-construction #vector

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<element type="polygon" label="triABC">
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<element type="segment" label="c">
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<element type="segment" label="a">
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<element type="segment" label="b">
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<element type="segment" label="segAC">
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<element type="angle" label="angA">
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<expression label="Cx" exp="(x(C), 0)" type="point" />
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<expression label="Cy" exp="(0, y(C))" type="point" />
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<command name="Segment">
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<element type="text" label="txta">
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<expression label="txtBSin" exp="&quot;b\sin \theta&quot;"/>
<element type="text" label="txtBSin">
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<expression label="M" exp="Cy" type="point" />
<element type="point" label="M">
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<element type="numeric" label="lenArrow">
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<element type="numeric" label="dx">
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<expression label="PinH" exp="M - (sgn(x(C)) * (lenArrow + dx, 0))" type="point" />
<element type="point" label="PinH">
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<element type="point" label="OffH">
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<expression label="txtFormula" exp="&quot;c^2=(a-b\cos \theta)^2+(b\sin \theta)^2&quot;"/>
<element type="text" label="txtFormula">
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<expression label="N" exp="M - (sgn(x(C)) * (lenArrow, 0))" type="point" />
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	<condition showObject="isCalcLen ∨ showCoord"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
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	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<startPoint exp="PinW + OffW"/>
</element>
<expression label="PinW" exp="Cx + (0, (-lenArrow) - 0.2)" type="point" />
<element type="point" label="PinW">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-2.8566605733559034" y="-0.8999999999999999" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
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<element type="point" label="OffW">
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	<coords x="-0.8" y="0.2" z="1.0"/>
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	<show object="true" label="true"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<ggbscript onUpdate="ShowAxes[showCoord||isCalcLen]"/>
	<caption val="計算兩點距離"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="B + (0, (-lenArrow))" a1="B"/>
	<output a0="ua"/>
</command>
<element type="vector" label="ua">
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	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint  x="4.547132396033681" y="-0.7" z="1.0"/>
</element>
<expression label="txta2" exp="&quot;a&quot;"/>
<element type="text" label="txta2">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="isCalcLen"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
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	<startPoint exp="B + (0, (-lenArrow))"/>
	<labelOffset x="-13" y="0"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="B" a1="C"/>
	<output a0="segBC"/>
</command>
<element type="segment" label="segBC">
	<show object="true" label="false"/>
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	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-4.541790688667901" y="-7.403792969389585" z="20.652123576445934"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="txtFormula2" exp="&quot;c^2=a^2-2ab\cos \theta +b^2(\cos^2\theta+\sin^2 \theta)&quot;"/>
<element type="text" label="txtFormula2">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="showFormula2"/>
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</element>
<element type="boolean" label="showFormula2">
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	<caption val="算式二"/>
</element>
<expression label="txtTheta" exp="&quot;\theta&quot;"/>
<element type="text" label="txtTheta">
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	<startPoint exp="(1; angA / 2)"/>
	<labelOffset x="-14" y="-15"/>
</element>
</construction>
</geogebra>

Geometric Construction and Demonstration of the Law of Cosines

Loading the GeoGebra board and drawing, please wait…

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<element type="point" label="A">
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<command name="Point">
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<element type="point" label="C">
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<command name="Polygon">
	<input a0="A" a1="B" a2="C"/>
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<element type="polygon" label="triABC">
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<element type="segment" label="c">
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	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
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<element type="segment" label="a">
	<show object="true" label="false"/>
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<element type="segment" label="b">
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<element type="boolean" label="showCoord">
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</element>
<command name="Segment">
	<input a0="A" a1="C"/>
	<output a0="segAC"/>
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<element type="segment" label="segAC">
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	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
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<command name="Segment">
	<input a0="A" a1="B"/>
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<element type="segment" label="segAB">
	<show object="true" label="false"/>
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	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
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	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
	<input a0="B" a1="A" a2="C"/>
	<output a0="angA"/>
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<element type="angle" label="angA">
	<angleStyle val="0"/>
	<value val="2.1322470351605967"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<decoration type="6"/>
	<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
	<arcSize val="30"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<element type="boolean" label="showFormula">
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	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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	<labelOffset x="625" y="127"/>
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<expression label="Cx" exp="(x(C), 0)" type="point" />
<element type="point" label="Cx">
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	<pointSize val="3"/>
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</element>
<expression label="Cy" exp="(0, y(C))" type="point" />
<element type="point" label="Cy">
	<show object="false" label="true"/>
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</element>
<command name="Segment">
	<input a0="C" a1="Cx"/>
	<output a0="segCx"/>
</command>
<element type="segment" label="segCx">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="showCoord ∨ isCalcLen"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
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	<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="C" a1="Cy"/>
	<output a0="segCy"/>
</command>
<element type="segment" label="segCy">
	<show object="true" label="false"/>
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	<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
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<expression label="txtC" exp="&quot;C&quot;"/>
<element type="text" label="txtC">
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	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
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<expression label="txtB" exp="&quot;B&quot;"/>
<element type="text" label="txtB">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.0"/>
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	<labelMode val="0"/>
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	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<startPoint exp="B"/>
	<labelOffset x="5" y="5"/>
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<expression label="txtA" exp="&quot;A&quot;"/>
<element type="text" label="txtA">
	<show object="false" label="false"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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	<startPoint exp="C"/>
	<labelOffset x="-17" y="-48"/>
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<element type="text" label="txtb">
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<expression label="txta" exp="&quot;a&quot;"/>
<element type="text" label="txta">
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	<labelOffset x="-6" y="3"/>
</element>
<expression label="txtBSin" exp="&quot;b\sin \theta&quot;"/>
<element type="text" label="txtBSin">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="showCoord ∨ isCalcLen"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<startPoint exp="PinH + OffH"/>
</element>
<expression label="M" exp="Cy" type="point" />
<element type="point" label="M">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="0.0" y="4.541790688667901" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="numeric" label="lenArrow">
	<value val="0.7"/>
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<element type="numeric" label="dx">
	<value val="1.0"/>
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="1"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="PinH" exp="M - (sgn(x(C)) * (lenArrow + dx, 0))" type="point" />
<element type="point" label="PinH">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="1.7" y="4.541790688667901" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="OffH">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-1.0" y="0.4" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="txtFormula" exp="&quot;c^2=(a-b\cos \theta)^2+(b\sin \theta)^2&quot;"/>
<element type="text" label="txtFormula">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="showFormula"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<absoluteScreenLocation  x="125" y="5"/>
</element>
<expression label="N" exp="M - (sgn(x(C)) * (lenArrow, 0))" type="point" />
<element type="point" label="N">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="0.7" y="4.541790688667901" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="N" a1="M"/>
	<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="showCoord ∨ isCalcLen"/>
	<objColor r="204" g="0" b="102" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-0.7" y="0.0" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint exp="N"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="Cx + (0, (-lenArrow))" a1="Cx"/>
	<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="isCalcLen ∨ showCoord"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="0.0" y="0.7" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint  x="-2.8566605733559034" y="-0.7" z="1.0"/>
</element>
<expression label="txtBCos" exp="&quot;b\cos \theta&quot;"/>
<element type="text" label="txtBCos">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="isCalcLen ∨ showCoord"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<startPoint exp="PinW + OffW"/>
</element>
<expression label="PinW" exp="Cx + (0, (-lenArrow) - 0.2)" type="point" />
<element type="point" label="PinW">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-2.8566605733559034" y="-0.8999999999999999" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="OffW">
	<show object="false" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-0.8" y="0.2" z="1.0"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="boolean" label="isCalcLen">
	<value val="false"/>
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelOffset x="625" y="81"/>
	<labelMode val="0"/>
	<ggbscript onUpdate="ShowAxes[showCoord||isCalcLen]"/>
	<caption val="計算兩點距離"/>
</element>
<command name="Vector">
	<input a0="B + (0, (-lenArrow))" a1="B"/>
	<output a0="ua"/>
</command>
<element type="vector" label="ua">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="isCalcLen"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="0.0" y="0.7" z="0.0"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<coordStyle style="cartesian"/>
	<startPoint  x="4.547132396033681" y="-0.7" z="1.0"/>
</element>
<expression label="txta2" exp="&quot;a&quot;"/>
<element type="text" label="txta2">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="isCalcLen"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<startPoint exp="B + (0, (-lenArrow))"/>
	<labelOffset x="-13" y="0"/>
</element>
<command name="Segment">
	<input a0="B" a1="C"/>
	<output a0="segBC"/>
</command>
<element type="segment" label="segBC">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="isCalcLen"/>
	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<coords x="-4.541790688667901" y="-7.403792969389585" z="20.652123576445934"/>
	<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
	<outlyingIntersections val="false"/>
	<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="txtFormula2" exp="&quot;c^2=a^2-2ab\cos \theta +b^2(\cos^2\theta+\sin^2 \theta)&quot;"/>
<element type="text" label="txtFormula2">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="showFormula2"/>
	<objColor r="75" g="0" b="130" alpha="0.0"/>
	<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<absoluteScreenLocation  x="77" y="51"/>
</element>
<element type="boolean" label="showFormula2">
	<value val="false"/>
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelOffset x="626" y="170"/>
	<labelMode val="0"/>
	<caption val="算式二"/>
</element>
<expression label="txtTheta" exp="&quot;\theta&quot;"/>
<element type="text" label="txtTheta">
	<show object="true" label="false"/>
	<condition showObject="¬isCalcLen"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
	<layer val="0"/>
	<labelMode val="0"/>
	<selectionAllowed val="false"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="1"/>
	<startPoint exp="(1; angA / 2)"/>
	<labelOffset x="-14" y="-15"/>
</element>
</construction>
</geogebra>