探究余弦连乘积 cos(π/n)cos(2π/n)...cos(nπ/n) 的值
2017-10-11 14:20
本范例探讨了余弦函数的连乘积 cos(π/n)cos(2π/n)cos(3π/n)...cos(nπ/n) 的求值问题。通过结合复数与单位根的性质，利用 GeoGebra 的序列和角度等命令，动态演示了当 n 变化时该连乘积的几何与代数意义。适合用于高中或大学阶段的三角学与复数拓展学习，帮助直观理解三角恒等式与复数根之间的深刻联系。
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<expression label="text15" exp=""∴ (1+ω)(1+ω^2)\cdots (1+ω^n) = 1- (-1)^n=\begin{cases} 0 \text{ ,if n even}\\ 2 \text{ ,if n odd} \end{cases}""/>
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<expression label="text16" exp=""z^{\frac{n(n+1)}{2}}=\begin{cases} z^{n(2m+1)}=z^n=-1 \text{ , if } n=4m+1 \\ z^{n(2m+2)}=z^{2n}=+1 \text{ , if } n=4m+3 \end{cases}""/>
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