Exploring the Product of Cosines: cos(π/n)cos(2π/n)...cos(nπ/n)
2017-10-11 14:20
This applet explores the product of cosines: cos(π/n)cos(2π/n)...cos(nπ/n). Combining complex numbers and roots of unity, it dynamically demonstrates the geometric and algebraic significance of this product as n varies using GeoGebra's Sequence and Angle commands. Ideal for high school or college trigonometry and complex number studies, it provides intuitive insights into trigonometric identities
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複數
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<expression label="text15" exp=""∴ (1+ω)(1+ω^2)\cdots (1+ω^n) = 1- (-1)^n=\begin{cases} 0 \text{ ,if n even}\\ 2 \text{ ,if n odd} \end{cases}""/>
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<expression label="text16" exp=""z^{\frac{n(n+1)}{2}}=\begin{cases} z^{n(2m+1)}=z^n=-1 \text{ , if } n=4m+1 \\ z^{n(2m+2)}=z^{2n}=+1 \text{ , if } n=4m+3 \end{cases}""/>
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<expression label="text17" exp=""\prod^{n}_{k=1}cos(kθ)=\begin{cases} -(1/2)^{n-1} \text{ ,if } n = 4m+1 \\ +(1/2)^{n-1} \text{ ,if } n = 4m + 3 \end{cases}""/>
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