Finding a Point Given a Specific Area

2019-09-16 11:05

This applet demonstrates how to find a point that satisfies a given polygon area condition using geometric construction. Utilizing GeoGebra's polygon, vector, segment, and intersection tools, it builds a dynamic geometric model. Users can adjust parameters via input boxes to observe the relationship between the point's position and the area, aiding in understanding the connection between area and

#polygon #geometry-construction #coordinate-geometry

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<construction title="[洋葱] 给定面积找点(0057)" author="" date="">
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<element type="numeric" label="k">
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<element type="numeric" label="a">
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<expression label="b" exp="-1 / 2"/>
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<expression label="c" exp="-3 / 2"/>
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<element type="numeric" label="wr">
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<element type="numeric" label="wd">
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<element type="segment" label="wnr">
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<element type="segment" label="wnu">
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<element type="segment" label="wnl">
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<expression label="text8" exp="&quot;给定面积找点&quot;"/>
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<expression label="QT1" exp="&quot;$y_1 = -x^2+bx+c$ 的顶点 $M$ 在 $y_2 = \frac{x}{2}+1$ 上，&#xa;且与 $x$轴交于 $A,B$ 两点。求 $S_{\triangle ABM}=8$ 时，二次函数的解析式。&quot;"/>
<element type="text" label="QT1">
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<element type="numeric" label="QType">
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<expression label="text10" exp="&quot;提示&quot;"/>
<element type="text" label="text10">
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<expression label="text11" exp="&quot;探究&quot;"/>
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<expression label="O" exp="(0, 0)" type="point"/>
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<expression label="FigR" exp="(wl, -1)" type="point" />
<element type="point" label="FigR">
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<element type="button" label="bt0">
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	<ggbscript val="SetValue(blFig,If(blFig,False,True))&#xa;SetColor(bt0,If(blFig,&quot;#0000FF&quot;,&quot;#000000&quot;))&#xa;SetBackgroundColor(bt0,If(blFig,&quot;#FFFF00&quot;,&quot;#FFFFFF&quot;))"/>
	<font serif="false" sizeM="2" size="16" style="0"/>
	<caption val="原题"/>
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<command name="Textfield">
	<input a0="k"/>
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<element type="textfield" label="InputBox1">
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	<caption val="k"/>
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<command name="Textfield">
	<input a0="d"/>
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<element type="textfield" label="InputBox2">
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	<linkedGeo exp="d"/>
	<length val="2"/>
	<caption val="d"/>
</element>
<expression label="text1" exp="&quot;作 $\textcolor{#80F}{CM}$ 垂直 $x$ 轴于 $C$，设 $CB=d$ 。&quot;"/>
<element type="text" label="text1">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="hint ≥ 1"/>
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	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="11" y="167"/>
</element>
<expression label="text2" exp="&quot;因抛物线的二次项系数为 $-1$，所以 $\textcolor{#80F}{CM}=d^2$。&quot;"/>
<element type="text" label="text2">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="hint ≥ 2"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<labelMode val="0"/>
	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="11" y="209"/>
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<expression label="f2" exp="f2(x) = x / 2 + 1" type="function"/>
<element type="function" label="f2">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<expression label="M" exp="((2 * (d^(2) - 1)), d^(2))" type="point" />
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<expression label="f1" exp="f1(x) = (-x^(2)) + (2 * (h * x)) - h^(2) + h / 2 + 1" />
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	<entry key="Expand[-x² + 2(2.16) x - (2.16)² + (2.16) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (108 / 25 * x) - 1616 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(3.04) x - (3.04)² + (3.04) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (152 / 25 * x) - 4201 / 625"/>
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	<entry key="Expand[-x² + 2(4.38) x - (4.38)² + (4.38) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (219 / 25 * x) - 19993 / 1250"/>
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	<entry key="Expand[-x² + 2(5.8) x - (5.8)² + (5.8) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (58 / 5 * x) - 1487 / 50"/>
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<expression label="text7" exp="&quot;$S_{\triangle ABM}=$&quot;"/>
<element type="text" label="text7">
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<expression label="text4" exp="&quot;可得 $S_{\triangle MAB} = d^3 =&quot; + (LaTeX[sABM]) + &quot;$，解得 $d=&quot; + (LaTeX[d]) + &quot;$。&quot;" />
<element type="text" label="text4">
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</element>
<expression label="text5" exp="&quot;$y=d^2=&quot; + (LaTeX[d^(2)]) + &quot;$ 代入 $y=\frac{x}{2}+1$ 得 $x=&quot; + (LaTeX[(2 * (d^(2) - 1))]) + &quot;$。&quot;" />
<element type="text" label="text5">
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<expression label="text6" exp="&quot;二次函数为 $y=-(x-&quot; + (LaTeX[x(M)]) + &quot;)^2 + &quot; + (LaTeX[y(M)]) + &quot; = &quot; + (LaTeX[Expand[f1]]) + &quot;$&quot;" />
<element type="text" label="text6">
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<element type="image" label="pic1">
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Loading the GeoGebra board and drawing, please wait…

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	<caption val="(2)"/>
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<expression label="QT1" exp="&quot;$y_1 = -x^2+bx+c$ 的顶点 $M$ 在 $y_2 = \frac{x}{2}+1$ 上，&#xa;且与 $x$轴交于 $A,B$ 两点。求 $S_{\triangle ABM}=8$ 时，二次函数的解析式。&quot;"/>
<element type="text" label="QT1">
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<expression label="text10" exp="&quot;提示&quot;"/>
<element type="text" label="text10">
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<element type="point" label="FigL">
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<expression label="text11" exp="&quot;探究&quot;"/>
<element type="text" label="text11">
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<expression label="O" exp="(0, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="O">
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<expression label="FigR" exp="(wl, -1)" type="point" />
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<element type="button" label="bt0">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<ggbscript val="SetValue(blFig,If(blFig,False,True))&#xa;SetColor(bt0,If(blFig,&quot;#0000FF&quot;,&quot;#000000&quot;))&#xa;SetBackgroundColor(bt0,If(blFig,&quot;#FFFF00&quot;,&quot;#FFFFFF&quot;))"/>
	<font serif="false" sizeM="2" size="16" style="0"/>
	<caption val="原题"/>
</element>
<command name="Textfield">
	<input a0="k"/>
	<output a0="InputBox1"/>
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	<startPoint x="-2.0101478480484674" y="2.3957110383469975" z="1"/>	<linkedGeo exp="k"/>
	<length val="2"/>
	<caption val="k"/>
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<command name="Textfield">
	<input a0="d"/>
	<output a0="InputBox2"/>
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<element type="textfield" label="InputBox2">
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	<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="1"/>
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	<linkedGeo exp="d"/>
	<length val="2"/>
	<caption val="d"/>
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<expression label="text1" exp="&quot;作 $\textcolor{#80F}{CM}$ 垂直 $x$ 轴于 $C$，设 $CB=d$ 。&quot;"/>
<element type="text" label="text1">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="hint ≥ 1"/>
	<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="11" y="167"/>
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<expression label="text2" exp="&quot;因抛物线的二次项系数为 $-1$，所以 $\textcolor{#80F}{CM}=d^2$。&quot;"/>
<element type="text" label="text2">
	<show object="true" label="false" ev="40"/>
	<condition showObject="hint ≥ 2"/>
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<expression label="f2" exp="f2(x) = x / 2 + 1" type="function"/>
<element type="function" label="f2">
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<expression label="M" exp="((2 * (d^(2) - 1)), d^(2))" type="point" />
<element type="point" label="M">
	<show object="true" label="true" ev="4"/>
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	<caption val="$%n%v$"/>
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<expression label="h" exp="x(M)" />
<element type="numeric" label="h">
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<expression label="f1" exp="f1(x) = (-x^(2)) + (2 * (h * x)) - h^(2) + h / 2 + 1" />
<element type="function" label="f1">
	<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<casMap>
	<entry key="Expand[-x² + 2(0) x - (0)² + (0) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + 1"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(1.17) x - (1.17)² + (1.17) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (117 / 50 * x) + 2161 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(2.16) x - (2.16)² + (2.16) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (108 / 25 * x) - 1616 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(3.04) x - (3.04)² + (3.04) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (152 / 25 * x) - 4201 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(3.85) x - (3.85)² + (3.85) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (77 / 10 * x) - 4759 / 400"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(3.93) x - (3.93)² + (3.93) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (393 / 50 * x) - 124799 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4) x - (4)² + (4) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (8 * x) - 13"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.08) x - (4.08)² + (4.08) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (204 / 25 * x) - 8504 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.23) x - (4.23)² + (4.23) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (423 / 50 * x) - 147779 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.31) x - (4.31)² + (4.31) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (431 / 50 * x) - 154211 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.38) x - (4.38)² + (4.38) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (219 / 25 * x) - 19993 / 1250"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.46) x - (4.46)² + (4.46) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (223 / 25 * x) - 20827 / 1250"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.6) x - (4.6)² + (4.6) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (46 / 5 * x) - 893 / 50"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.68) x - (4.68)² + (4.68) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (234 / 25 * x) - 23203 / 1250"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.75) x - (4.75)² + (4.75) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (19 / 2 * x) - 307 / 16"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.82) x - (4.82)² + (4.82) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (241 / 25 * x) - 12389 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.89) x - (4.89)² + (4.89) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (489 / 50 * x) - 204671 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(4.97) x - (4.97)² + (4.97) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (497 / 50 * x) - 212159 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.04) x - (5.04)² + (5.04) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (252 / 25 * x) - 13676 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.11) x - (5.11)² + (5.11) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (511 / 50 * x) - 225571 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.18) x - (5.18)² + (5.18) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (259 / 25 * x) - 29053 / 1250"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.32) x - (5.32)² + (5.32) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (266 / 25 * x) - 30803 / 1250"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.39) x - (5.39)² + (5.39) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (539 / 50 * x) - 253571 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.46) x - (5.46)² + (5.46) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (273 / 25 * x) - 16301 / 625"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.53) x - (5.53)² + (5.53) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (553 / 50 * x) - 268159 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.66) x - (5.66)² + (5.66) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (283 / 25 * x) - 35257 / 1250"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.73) x - (5.73)² + (5.73) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (573 / 50 * x) - 289679 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.8) x - (5.8)² + (5.8) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (58 / 5 * x) - 1487 / 50"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.87) x - (5.87)² + (5.87) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (587 / 50 * x) - 305219 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(5.93) x - (5.93)² + (5.93) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (593 / 50 * x) - 311999 / 10000"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(6) x - (6)² + (6) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (12 * x) - 32"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(6.65) x - (6.65)² + (6.65) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (133 / 10 * x) - 15959 / 400"/>
	<entry key="Expand[-x² + 2(7.28) x - (7.28)² + (7.28) / 2 + 1]" val="(-x^(2)) + (364 / 25 * x) - 30224 / 625"/>
</casMap>
</element>
<command name="Intersect">
	<input a0="f1" a1="xAxis"/>
	<output a0="A" a1="B"/>
</command>
<element type="point" label="A">
	<show object="true" label="true" ev="4"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
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	<labelMode val="3"/>
	<coords x="4" y="0" z="1"/>
	<pointSize val="3"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<element type="point" label="B">
	<show object="true" label="true"/>
	<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
	<layer val="8"/>
	<labelOffset x="-25" y="38"/>
	<labelMode val="3"/>
	<coords x="8" y="0" z="1"/>
	<pointSize val="2"/>
	<pointStyle val="0"/>
	<caption val="$%n$"/>
</element>
<command name="Polygon">
	<input a0="A" a1="B" a2="M"/>
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<element type="polygon" label="plABM">
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	<caption val="$\Large %v$"/>
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<element type="segment" label="m">
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<element type="segment" label="a_1">
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<element type="segment" label="b_1">
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<command name="Segment">
	<input a0="A" a1="B"/>
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<element type="segment" label="sAB">
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<command name="Intersect">
	<input a0="OrthogonalLine[M, Line[A, B]]" a1="Line[A, B]"/>
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<element type="point" label="C">
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<command name="Segment">
	<input a0="C" a1="M"/>
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<element type="segment" label="sCM">
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</element>
<command name="Angle">
	<input a0="B" a1="C" a2="M"/>
	<output a0="aBCM"/>
</command>
<element type="angle" label="aBCM">
	<angleStyle val="0"/>
	<value val="1.5707963267948966"/>
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	<condition showObject="hint ≥ 1"/>
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	<labelMode val="1"/>
	<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="153"/>
	<arcSize val="30"/>
</element>
<expression label="text7" exp="&quot;$S_{\triangle ABM}=$&quot;"/>
<element type="text" label="text7">
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	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="374" y="8"/>
</element>
<expression label="text4" exp="&quot;可得 $S_{\triangle MAB} = d^3 =&quot; + (LaTeX[sABM]) + &quot;$，解得 $d=&quot; + (LaTeX[d]) + &quot;$。&quot;" />
<element type="text" label="text4">
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	<condition showObject="hint ≥ 3"/>
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	<isLaTeX val="true"/>
	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
	<absoluteScreenLocation x="9" y="251"/>
</element>
<expression label="text5" exp="&quot;$y=d^2=&quot; + (LaTeX[d^(2)]) + &quot;$ 代入 $y=\frac{x}{2}+1$ 得 $x=&quot; + (LaTeX[(2 * (d^(2) - 1))]) + &quot;$。&quot;" />
<element type="text" label="text5">
	<show object="true" label="false" ev="8"/>
	<condition showObject="hint ≥ 4"/>
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	<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
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</element>
<expression label="text6" exp="&quot;二次函数为 $y=-(x-&quot; + (LaTeX[x(M)]) + &quot;)^2 + &quot; + (LaTeX[y(M)]) + &quot; = &quot; + (LaTeX[Expand[f1]]) + &quot;$&quot;" />
<element type="text" label="text6">
	<show object="true" label="false" ev="8"/>
	<condition showObject="hint ≥ 5"/>
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<element type="image" label="pic1">
	<file name="f43425d282721f1e537000f8f87deb02/[洋葱] 给定面积找点(0057).png"/>
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