Fundamental Theorem of Calculus Demonstration
2014-04-15 03:55
This applet demonstrates the Fundamental Theorem of Calculus. It visually links a function's definite integral over an interval to its antiderivative. By adjusting integration limits, users can see how the area under the curve matches the antiderivative's value difference, deepening the understanding of the inverse relationship between differentiation and integration.
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<expression label="ystar" exp="d / Δx" />
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<expression label="h" exp="y = ystar" type="line" />
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<expression label="K" exp="(xstar, 0)" type="point" />
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<expression label="L" exp="(x(K), y((7 * K) + Corner[1]) / 8)" type="point" />
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<expression label="text9" exp=""F(x+Δx)-F(x)=f(x^*) \cdot \Delta x""/>
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<expression label="text10" exp=""\frac{F(x+Δx)-F(x)}{Δx}=f(x^*)""/>
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<expression label="M" exp="(x(E), y(C))" type="point" />
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<element type="segment" label="segTri2">
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<element type="segment" label="segTri3">
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<expression label="N" exp="(b, f(b))" type="point" />
<element type="point" label="N">
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<expression label="P" exp="(x(D), y(J))" type="point" />
<element type="point" label="P">
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<command name="Polygon">
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<element type="segment" label="segRect4">
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<element type="segment" label="segRect1">
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<element type="segment" label="segRect2">
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<element type="segment" label="segRect3">
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<expression label="text11" exp=""\frac{F(x+Δx)-F(x)}{Δx}→F'(x)""/>
<element type="text" label="text11">
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<element type="numeric" label="t">
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<expression label="Pin" exp="Corner[1] + (pinX * winU) + (pinY * winV)" type="point" />
<element type="point" label="Pin">
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<expression label="txtStep1" exp=""將積分看成「面積」""/>
<element type="text" label="txtStep1">
<show object="true" label="false"/>
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<expression label="txtStep2" exp=""將 x 到 x + Δx 之間的積分 看成「面積」""/>
<element type="text" label="txtStep2">
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<expression label="Q" exp="(a, f(a))" type="point" />
<element type="point" label="Q">
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<command name="Segment">
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<element type="segment" label="i">
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</element>
<command name="Segment">
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</element>
<expression label="R" exp="(c, f(c))" type="point" />
<element type="point" label="R">
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<command name="Segment">
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<command name="Midpoint">
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<output a0="S"/>
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</element>
<command name="Vector">
<input a0="H" a1="S"/>
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</command>
<element type="vector" label="u">
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</element>
<element type="numeric" label="pin2Y">
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</element>
<expression label="Pin2" exp="Corner[1] + (pin2X * winU) + (pin2Y * winV)" type="point" />
<element type="point" label="Pin2">
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<expression label="txtStep3" exp=""此積分可改為長方形面積""/>
<element type="text" label="txtStep3">
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<condition showObject="t ≟ 3"/>
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</element>
<expression label="text1" exp=""f(x^*)→f(x)""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="t ≥ 5"/>
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</element>
<expression label="text2" exp=""面積 ÷ 底 ＝ 高 積分 ÷ 底 ＝ 平均函數值""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="t ≟ 4"/>
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<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
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</element>
<expression label="text3" exp=""當 Δx → 0 時""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="t ≟ 5"/>
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<bgColor r="255" g="255" b="255" alpha="255"/>
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<labelMode val="0"/>
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<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
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</element>
<expression label="text5" exp=""將積分看成「函數值」""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<condition showObject="t ≟ 1"/>
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<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
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</element>
<expression label="text7" exp=""將 x 到 x + Δx 之間的積分 看成「函數值的差」""/>
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<condition showObject="t ≟ 2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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</element>
<command name="Midpoint">
<input a0="M" a1="E"/>
<output a0="I"/>
</command>
<element type="point" label="I">
<show object="false" label="true" ev="3"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
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<coords x="2.911111111111113" y="3.307501485863824" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
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</element>
<command name="Vector">
<input a0="I" a1="E"/>
<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<condition showObject="(2 ≤ t) ∧ (t ≤ 3)"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="I"/>
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<expression label="text8" exp=""\frac{F(x+Δx)-F(x)}{Δx}""/>
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<command name="Line">
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<expression label="text12" exp=""視為「割線斜率」""/>
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<expression label="text13" exp=""微積分基本定理""/>
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<expression label="text14" exp=""F'(x) = f(x)""/>
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<element type="button" label="button1">
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<element type="button" label="button2">
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