Geometric Construction of the Equation 1+z² = (2cosθ)z
2017-10-11 08:21
This applet demonstrates the geometric construction of the equation 1+z² = (2cosθ)z. Using GeoGebra tools like circles, points, vectors, segments, angles, and polygons, it visually illustrates the correspondence between this equation and geometric figures. By adjusting parameters like angle θ, users can observe dynamic changes and understand the connection between algebra and geometry.
In collections
複數
Loading the GeoGebra board and drawing, please wait…
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.389.0" app="classic" platform="w" id="26d5a43e-87ac-463a-b37c-db844db13f0e" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="755" height="511" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.9973509933774835" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1,1" size="500" window="100,100,600,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="753" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="3" size="200" window="100,100,250,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="474" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="128" visible="false" inframe="true" stylebar="false" location="1" size="480" window="50,50,500,500" />
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="461" window="548,158,832,550" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="43" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="450" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="false" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6 || 100002" position="1" help="false" />
<input show="false" cmd="true" top="algebra" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="16"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="753" height="509"/>
<coordSystem xZero="297.07399455018805" yZero="257.71704002623187" scale="161.39134602742857" yscale="161.3913460274284"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="0"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<expression label ="O" exp="(0, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="O">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0" y="0" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="O" a1="1"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="conic" label="c">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-1" A3="0" A4="0" A5="0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="Point">
<input a0="c"/>
<output a0="A"/>
</command>
<element type="point" label="A">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="125" g="125" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="31" y="42"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-0.7003227731686048" y="0.7138263187788995" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="O" a1="A"/>
<output a0="u"/>
</command>
<element type="vector" label="u">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-0.7003227731686048" y="0.7138263187788995" z="0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="O"/>
</element>
<expression label ="B" exp="(1, 0)" type="point"/>
<element type="point" label="B">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="1" y="0" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="C" exp="A + B" type="point" />
<element type="point" label="C">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0.2996772268313952" y="0.7138263187788995" z="1"/>
<pointSize val="5"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="O" a1="C"/>
<output a0="v"/>
</command>
<element type="vector" label="v">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0.2996772268313952" y="0.7138263187788995" z="0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="O"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="B"/>
<output a0="segOB"/>
</command>
<element type="segment" label="segOB">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0" y="1" z="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B" a1="C"/>
<output a0="segBC"/>
</command>
<element type="segment" label="segBC">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-0.7138263187788995" y="-0.7003227731686048" z="0.7138263187788995"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="C"/>
<output a0="segAC"/>
</command>
<element type="segment" label="segAC">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0" y="1" z="-0.7138263187788995"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="B" a1="O" a2="C"/>
<output a0="θ"/>
</command>
<element type="angle" label="θ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.1733229482110212"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="θ ≤ 180°"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="-13" y="-42"/>
<labelMode val="1"/>
<decoration type="6"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="25"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="O" a2="A"/>
<output a0="α"/>
</command>
<element type="angle" label="α">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.1733229482110212"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="θ ≤ 180°"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<decoration type="6"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="25"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="D" exp="C / 2" type="point" />
<element type="point" label="D">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0.1498386134156976" y="0.35691315938944973" z="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="B"/>
<output a0="segAB"/>
</command>
<element type="segment" label="segAB">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0.7138263187788995" y="1.7003227731686048" z="-0.7138263187788995"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="O" a1="D" a2="B"/>
<output a0="β"/>
</command>
<element type="angle" label="β">
<angleStyle val="1"/>
<value val="1.5707963267948966"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="102" g="0" b="204" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="15"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""θ""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="Pin1"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""θ""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="Pin2"/>
</element>
<element type="numeric" label="dr">
<value val="0.25"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.05" speed="1" type="0" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="txtTh" exp=""θ""/>
<element type="text" label="txtTh">
<show object="false" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint x="1.5175906978815743" y="0.42577896348019434" z="1"/>
</element>
<expression label="off" exp="(Corner[txtTh, 4] - Corner[txtTh, 2]) / 2" type="vector" />
<element type="vector" label="off">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-0.07125536952920364" y="0.09294178634243966" z="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="C" a1="O" a2="B"/>
<output a0="γ"/>
</command>
<element type="angle" label="γ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="5.109862358968565"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="θ > 180°"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<decoration type="7"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="25"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="A" a1="O" a2="C"/>
<output a0="δ"/>
</command>
<element type="angle" label="δ">
<angleStyle val="0"/>
<value val="5.109862358968565"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="θ > 180°"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<decoration type="7"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="2"/>
<arcSize val="25"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="Pin1" exp="(dr; If[θ ≤ 180°, θ, (-γ)] / 2) + off" type="point" />
<element type="point" label="Pin1">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="0.13694299812206323" y="0.23133773898321566" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="Pin2" exp="(dr; If[θ ≤ 180°, (3 * θ), (-3 * γ)] / 2) + off" type="point" />
<element type="point" label="Pin2">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<coords x="-0.11827075432445154" y="0.33848109804741855" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="{O, D, B}"/>
<output a0="t1"/>
</command>
<element type="polygon" label="t1">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="204" g="255" b="102" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""\cos(2θ)+i\sin(2θ)""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="A"/>
<labelOffset x="-66" y="-40"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""1""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="B / 2"/>
<labelOffset x="-10" y="5"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""1+\cos(2θ)+i\sin(2θ)\\ =2\cosθ(\cosθ+i\sinθ)""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="25" y="-27"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="B" a1="1"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="conic" label="d">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isShape val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="20" typeHidden="1"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="0" A3="0" A4="-1" A5="0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""z=\cosθ+i\sinθ""/>
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="552" y="216"/>
</element>
<expression label="text7" exp=""z^2+1=(2\cosθ)z""/>
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="551" y="258"/>
</element>
<expression label="text8" exp=""z+\frac{1}{z}=2\cosθ""/>
<element type="text" label="text8">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1" size="0" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="556" y="302"/>
</element>
</construction>
</geogebra>