Geometric Meaning of Fraction Multiplication
2012-09-28 06:49
This GeoGebra applet visually demonstrates the geometric meaning and operational rules of fraction multiplication. Using interactive polygon area models, it illustrates the concept of a fractional multiple of a number and guides students to discover and verify the formula a/b × c/d = (ac)/(bd). It includes input boxes and buttons for customized exploratory learning.
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<expression label="text9" exp=""\frac{" + (LaTeX[floor(s * a)]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}\;公斤"" />
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<expression label="text19" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[p * d]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
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<expression label="text18" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[p]) + "×" + (LaTeX[d]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
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<expression label="text21" exp=""= \; " + (LaTeX[p]) + "×\frac{" + (LaTeX[q * c + d]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
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<expression label="text22" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[p * (q * c + d)]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
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<expression label="text23" exp=""=\;" + (LaTeX[floor(p * (q * c + d) / c)]) + "\frac{" + (LaTeX[(p * (q * c + d) - c * floor(p * (q * c + d) / c)) / GCD[p * (q * c + d), c]]) + "}{" + (LaTeX[c / GCD[p * (q * c + d), c]]) + "}（公斤）"" />
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<expression label="text24" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[p * a + b]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}×" + (LaTeX[q]) + """ />
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<expression label="text26" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[(p * a + b) * q]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}"" />
<element type="text" label="text26">
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<expression label="text27" exp=""= \; " + (LaTeX[floor((q * (p * a + b)) / a)]) + "\frac{" + (LaTeX[((p * a + b) * q - a * floor((q * (p * a + b)) / a)) / GCD[q * (p * a + b), a]]) + "}{" + (LaTeX[a / GCD[q * (p * a + b), a]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text27">
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<expression label="text25" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[p * a + b]) + "×" + (LaTeX[q]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}"" />
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<expression label="text27_1" exp=""= \; " + (LaTeX[floor((q * (p * a + b)) / a)]) + "（公斤）"" />
<element type="text" label="text27_1">
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<expression label="text23_1" exp=""=\;" + (LaTeX[floor(p * (q * c + d) / c)]) + "（公斤）"" />
<element type="text" label="text23_1">
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<condition showObject="f ∧ f4 ∧ b ≟ 0 ∧ (q > 0) ∧ (d > 0) ∧ p * (q * c + d) - c * floor(p * (q * c + d) / c) ≟ 0"/>
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<expression label="text28" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[b]) + "×" + (LaTeX[d]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "×" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text28">
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<expression label="text29" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[b * d]) + "}{" + (LaTeX[a * c]) + "}"" />
<element type="text" label="text29">
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<expression label="text30" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[b * d / GCD[b * d, a * c]]) + "}{" + (LaTeX[a * c / GCD[b * d, a * c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text30">
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<expression label="text31" exp=""（公斤）""/>
<element type="text" label="text31">
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<expression label="text32" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[p * a + b]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}×\frac{" + (LaTeX[d]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
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<expression label="text33_1" exp=""= \; " + (LaTeX[floor((p * a + b) * d / (a * c))]) + "\frac{" + (LaTeX[((p * a + b) * d - a * c * floor((p * a + b) * d / (a * c))) / GCD[(p * a + b) * d, a * c]]) + "}{" + (LaTeX[a * c / GCD[(p * a + b) * d, a * c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text33_1">
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<expression label="text33_2" exp=""= \; " + (LaTeX[floor((p * a + b) * d / (a * c))]) + "（公斤）"" />
<element type="text" label="text33_2">
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<condition showObject="f ∧ f3 ∧ (p > 0) ∧ (b > 0) ∧ q ≟ 0 ∧ (d > 0) ∧ (GCD[(p * a + b) * d, a * c] > 1) ∧ (p * a + b) * d - a * c * floor((p * a + b) * d / (a * c)) ≟ 0"/>
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<expression label="text33" exp=""= \; \frac{" + (LaTeX[p * a + b]) + "×" + (LaTeX[d]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "×" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text33">
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<expression label="text33_3" exp=""= \;\frac{" + (LaTeX[((p * a + b) * d - a * c * floor((p * a + b) * d / (a * c))) / GCD[(p * a + b) * d, a * c]]) + "}{" + (LaTeX[a * c / GCD[(p * a + b) * d, a * c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text33_3">
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<condition showObject="f ∧ f3 ∧ (p > 0) ∧ (b > 0) ∧ q ≟ 0 ∧ (d > 0) ∧ ((p * a + b) * d - a * c * floor((p * a + b) * d / (a * c)) > 0) ∧ floor((p * a + b) * d / (a * c)) ≟ 0"/>
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<expression label="text34" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[b]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}×\frac{" + (LaTeX[q * c + d]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text34">
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<expression label="text35" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[b]) + "×" + (LaTeX[q * c + d]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "×" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text35">
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<expression label="text36" exp=""=\;" + (LaTeX[floor((b * (q * c + d)) / (a * c))]) + "\frac{" + (LaTeX[(b * (q * c + d) - a * c * floor((b * (q * c + d)) / (a * c))) / GCD[b * (q * c + d), a * c]]) + "}{" + (LaTeX[a * c / GCD[b * (q * c + d), a * c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text36">
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<condition showObject="f ∧ f3 ∧ p ≟ 0 ∧ (q > 0) ∧ (d > 0) ∧ (floor((b * (q * c + d)) / (a * c)) > 0) ∧ (b * (q * c + d) - a * c * floor((b * (q * c + d)) / (a * c)) > 0)"/>
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<expression label="text36_1" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[(b * (q * c + d) - a * c * floor((b * (q * c + d)) / (a * c))) / GCD[b * (q * c + d), a * c]]) + "}{" + (LaTeX[a * c / GCD[b * (q * c + d), a * c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text36_1">
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<expression label="text37" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[p * a + b]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "}×\frac{" + (LaTeX[q * c + d]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text37">
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<expression label="text38" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[p * a + b]) + "×" + (LaTeX[q * c + d]) + "}{" + (LaTeX[a]) + "×" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text38">
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<expression label="text39" exp=""=\;" + (LaTeX[floor((p * a + b) * (q * c + d) / (a * c))]) + "\frac{" + (LaTeX[((p * a + b) * (q * c + d) - a * c * floor((p * a + b) * (q * c + d) / (a * c))) / GCD[(p * a + b) * (q * c + d), a * c]]) + "}{" + (LaTeX[a * c / GCD[(p * a + b) * (q * c + d), a * c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text39">
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<condition showObject="f ∧ f3 ∧ (p * b > 0) ∧ (q * d > 0) ∧ ((p * a + b) * (q * c + d) - a * c * floor((p * a + b) * (q * c + d) / (a * c)) > 0)"/>
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<expression label="text39_1" exp=""=\;" + (LaTeX[floor((p * a + b) * (q * c + d) / (a * c))]) + "（公斤）"" />
<element type="text" label="text39_1">
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<expression label="text40" exp=""=\;" + (LaTeX[p * q]) + "（公斤）"" />
<element type="text" label="text40">
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<expression label="text36_2" exp=""=\;" + (LaTeX[floor((b * (q * c + d)) / (a * c))]) + "（公斤）"" />
<element type="text" label="text36_2">
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<expression label="text19_1" exp=""=\;\frac{" + (LaTeX[p * d / GCD[p * d, c]]) + "}{" + (LaTeX[c / GCD[p * d, c]]) + "}（公斤）"" />
<element type="text" label="text19_1">
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<expression label="text41" exp=""包米重：""/>
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<expression label="text42" exp=""放大/縮小圖片：Ctrl+滾輪向下/向上；移動圖片：Ctrl+Shift""/>
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<command name="Sequence">
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<element type="segment" label="poly2_2">
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<command name="If">
<input a0="b ≠ 0" a1="Sequence[Segment[O + (b' - 1) * (A - O) / n + i / (n * a) * (A - O), O + (b' - 1) * (A - O) / n + i / (n * a) * (A - O) + (0, 5)], i, 1, a - 1]"/>
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<output a0="list4"/>
</command>
<element type="list" label="list4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="b > 0"/>
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<command name="If">
<input a0="d ≠ 0" a1="Sequence[Segment[O + (d' - 1) * (C - O) / n + i / (n * c) * (C - O), O + (d' - 1) * (C - O) / n + i / (n * c) * (C - O) + (5, 0)], i, 1, c - 1]"/>
<output a0="list5'"/>
</command>
<element type="list" label="list5'">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="20" typeHidden="1"/>
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<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Sequence[Segment[O + (j - 1) * (C - O) / n + i / (n * c) * (C - O), O + (j - 1) * (C - O) / n + i / (n * c) * (C - O) + (5, 0)], i, 1, c - 1]" a1="j" a2="1" a3="5"/>
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<expression label="d_1" exp="floor((t - floor(t)) * c)" />
<element type="numeric" label="d_1">
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<expression label="q_1" exp="floor(t)" />
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<caption val=" "/>
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<expression label="text6_3" exp=""" + (LaTeX[q_1]) + "\frac{" + (LaTeX[d_1]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "}"" />
<element type="text" label="text6_3">
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<expression label="d_2" exp="floor((t - floor(t)) * c)" />
<element type="numeric" label="d_2">
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<expression label="q_2" exp="floor(t)" />
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<expression label="text7_3" exp="" \frac{" + (LaTeX[d_2]) + "}{" + (LaTeX[c]) + "} "" />
<element type="text" label="text7_3">
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<expression label="d_3" exp="floor((t - floor(t)) * c)" />
<element type="numeric" label="d_3">
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<command name="Textfield">
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<expression label="q_4" exp="floor(t)" />
<element type="numeric" label="q_4">
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<expression label="text8_3" exp=""" + (LaTeX[q_4]) + """ />
<element type="text" label="text8_3">
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<expression label="q_5" exp="floor(t)" />
<element type="numeric" label="q_5">
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<element type="numeric" label="q_6">
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<element type="numeric" label="q_7">
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<element type="point" label="Export_1">
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