Multiple Solutions: Ptolemy, Algebra, Trigonometry, and Cauchy-Schwarz
2014-01-17 14:29
This applet demonstrates solving a math problem using multiple approaches: Ptolemy's theorem, algebra, trigonometry, and the Cauchy-Schwarz inequality. Through dynamic geometric constructions, it visually illustrates connections between different math branches, helping learners understand multiple solutions and enhance problem-solving skills.
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<caption val="托勒密解(步驟2)"/>
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<expression label="text5" exp=""如圖，作直角ΔABC\\ \overline{AC}=1、\overline{AB}=a，\\ 則\overline{BC}=\sqrt{1-a^2}""/>
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<expression label="text5_1" exp=""接著，作直角ΔADC\\ \overline{AD}=b，則\overline{BC}=\sqrt{1-b^2}\\ (a,b 皆非負數，請看說明。)""/>
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<caption val="托勒密解(步驟3)"/>
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<expression label="text5_2" exp=""∵∠ABC+∠ADC=180°∴A,B,C,D四點共圓。\\ By 托勒密定理\\ \overline{AB}×\overline{CD}+\overline{AD}×\overline{BC}=\overline{AC}×\overline{BD}\\ a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}=1×\overline{BD}\\ 得 \overline{BD}=1=\overline{AC} ⇒ ABCD為矩形\\ a^2+b^2=\overline{BD}=1""/>
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<expression label="text6" exp=""By 科西不等式\\ (a^2+b^2)[\sqrt{1-b^2}^2+\sqrt{1-a^2}^2]≥a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}\\ (a^2+b^2)[2-(a^2+b^2)]≥1\\ (a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)+1≤0\\ [(a^2+b^2)^2-1]^2≤0\\ (a^2+b^2)^2=1\\ a^2+b^2=1""/>
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<expression label="text7" exp=""∵1-a^2≥0 ∴-1≤a≤1\\ 同理 -1≤b≤1\\ 故可以令 sinα=a，sinβ=b\\ 原式：sinα·cosβ+cosα·sinβ=1\\ sin(α+β)=sin90°\\ sinα=cosβ\\ a^2+b^2=sin^2α+sin^2β=cos^2β+sin^2β=1""/>
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<caption val="三角函數解"/>
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<caption val="a,b值域的說明"/>
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<expression label="text8" exp=""說明 a,b 皆不得為負數。\\ \blue{∵0≤1-a^2≤1\\ ∴-1≤a≤1\\ 同理 -1≤b≤1}\\ \red{case 1： 若 a<0\\ 則 a\sqrt{1-b^2}<0 且 b\sqrt{1-a^2}<1\\ ⇒a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-a^2}<1 →←\\ 故 a 不為負數！}\\ \darkgreen{case 2： 若 b<0，同理 b 不為負數！}""/>
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<caption val="一般解"/>
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<ggbscript val="SetValue(m,!m) If[a,SetValue(a,!a)] If[n,SetValue(n,!n)] If[g,SetValue(g,!g)] If[j,SetValue(j,!j)] If[k,SetValue(k,!k)] If[o,SetValue(o,!o)]"/>
<caption val="柯西解"/>
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<element type="button" label="button3">
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<caption val="三角函數解"/>
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<caption val="托勒密解(步驟1)"/>
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<caption val="托勒密解(步驟2)"/>
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<caption val="托勒密解(步驟3)"/>
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