寻找函数的极小值
2016-05-20 06:04
本范例演示了如何利用GeoGebra寻找函数或几何图形中的极小值。通过结合函数图像、导数计算以及几何构造(如多边形、线段、向量等),直观地展示极小值点的求解过程。适用于微积分与最值优化问题的教学与探索。
所属专题
微积分
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<element type="vector" label="G5">
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<element type="numeric" label="I5">
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<expression label="J5" exp="(x(B5), y(B5), H5)" type="point" />
<element type="point3d" label="J5">
<show object="true" label="false" ev="5"/>
<condition showObject="A5 ≤ index"/>
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<expression label="B6" exp="B5 + G5" type="point" />
<element type="point" label="B6">
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<pointSize val="2"/>
<pointStyle val="0"/>
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<expression label="C6" exp="fx(x(B6), y(B6))" />
<element type="numeric" label="C6">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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<expression label="D6" exp="fy(x(B6), y(B6))" />
<element type="numeric" label="D6">
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<command name="Distance">
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<element type="numeric" label="F6">
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<command name="Vector">
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</command>
<element type="vector" label="G6">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<expression label="D10" exp="fy(x(B10), y(B10))" />
<element type="numeric" label="D10">
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<element type="point3d" label="J10">
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<element type="point" label="B11">
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<expression label="C11" exp="fx(x(B11), y(B11))" />
<element type="numeric" label="C11">
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<expression label="D11" exp="fy(x(B11), y(B11))" />
<element type="numeric" label="D11">
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<command name="Vector">
<input a0="B11" a1="B11 - (C11, D11)"/>
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</element>
<command name="Distance">
<input a0="(0, 0)" a1="(0, 0) + E11"/>
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</command>
<element type="numeric" label="F11">
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</element>
<command name="Vector">
<input a0="B11" a1="B11 + (step * E11)"/>
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</command>
<element type="vector" label="G11">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<expression label="H11" exp="f(x(B11), y(B11))" />
<element type="numeric" label="H11">
<value val="1.2491125729496675"/>
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</element>
<expression label="I11" exp="H11 - H10" />
<element type="numeric" label="I11">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<expression label="J11" exp="(x(B11), y(B11), H11)" type="point" />
<element type="point3d" label="J11">
<show object="true" label="false" ev="5"/>
<condition showObject="A11 ≤ index"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.0"/>
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<expression label="J2" exp="Q" type="point" />
<element type="point3d" label="J2">
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<command name="Segment">
<input a0="J2" a1="J3"/>
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</command>
<element type="segment3d" label="K3">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="J3" a1="J4"/>
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<element type="segment3d" label="K4">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="A4 ≤ index"/>
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<command name="Vector">
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<element type="numeric" label="I14">
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<command name="Segment">
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<element type="segment3d" label="K14">
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<element type="point" label="B15">
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<expression label="C15" exp="fx(x(B15), y(B15))" />
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<expression label="D15" exp="fy(x(B15), y(B15))" />
<element type="numeric" label="D15">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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<command name="Vector">
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<element type="vector" label="E15">
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<command name="Distance">
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</command>
<element type="numeric" label="F15">
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<command name="Vector">
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</command>
<element type="vector" label="G15">
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<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
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</element>
<expression label="H15" exp="f(x(B15), y(B15))" />
<element type="numeric" label="H15">
<value val="1.2200166560257404"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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<expression label="I15" exp="H15 - H14" />
<element type="numeric" label="I15">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<expression label="J15" exp="(x(B15), y(B15), H15)" type="point" />
<element type="point3d" label="J15">
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<pointSize val="2"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="J14" a1="J15"/>
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</command>
<element type="segment3d" label="K15">
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="B16" exp="B15 + G15" type="point" />
<element type="point" label="B16">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<command name="Vector">
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<expression label="J18" exp="(x(B18), y(B18), H18)" type="point" />
<element type="point3d" label="J18">
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<command name="Segment">
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<element type="segment3d" label="K18">
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<element type="point" label="B19">
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<expression label="C19" exp="fx(x(B19), y(B19))" />
<element type="numeric" label="C19">
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<expression label="D19" exp="fy(x(B19), y(B19))" />
<element type="numeric" label="D19">
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<command name="Distance">
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<command name="Vector">
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<element type="vector" label="G19">
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<element type="numeric" label="I19">
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<expression label="J19" exp="(x(B19), y(B19), H19)" type="point" />
<element type="point3d" label="J19">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="J18" a1="J19"/>
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<element type="segment3d" label="K19">
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="B20" exp="B19 + G19" type="point" />
<element type="point" label="B20">
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<expression label="C20" exp="fx(x(B20), y(B20))" />
<element type="numeric" label="C20">
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</element>
<expression label="D20" exp="fy(x(B20), y(B20))" />
<element type="numeric" label="D20">
<value val="-4.0104372479316475E-5"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<command name="Vector">
<input a0="B20" a1="B20 - (C20, D20)"/>
<output a0="E20"/>
</command>
<element type="vector" label="E20">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
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</element>
<command name="Distance">
<input a0="(0, 0)" a1="(0, 0) + E20"/>
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</command>
<element type="numeric" label="F20">
<value val="5.7519077973136787E-5"/>
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</element>
<command name="Vector">
<input a0="B20" a1="B20 + (step * E20)"/>
<output a0="G20"/>
</command>
<element type="vector" label="G20">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
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</element>
<expression label="H20" exp="f(x(B20), y(B20))" />
<element type="numeric" label="H20">
<value val="1.2200000013559198"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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</element>
<expression label="I20" exp="H20 - H19" />
<element type="numeric" label="I20">
<value val="-7.55874030033965E-9"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="J20" exp="(x(B20), y(B20), H20)" type="point" />
<element type="point3d" label="J20">
<show object="true" label="false" ev="5"/>
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<pointSize val="2"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="J19" a1="J20"/>
<output a0="K20"/>
</command>
<element type="segment3d" label="K20">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<command name="Segment">
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<element type="segment3d" label="K23">
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<expression label="D24" exp="fy(x(B24), y(B24))" />
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<command name="Vector">
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<command name="Distance">
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<command name="Vector">
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<element type="vector" label="G24">
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<expression label="J24" exp="(x(B24), y(B24), H24)" type="point" />
<element type="point3d" label="J24">
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="J23" a1="J24"/>
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<element type="segment3d" label="K24">
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<expression label="B25" exp="B24 + G24" type="point" />
<element type="point" label="B25">
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<expression label="C25" exp="fx(x(B25), y(B25))" />
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<expression label="D25" exp="fy(x(B25), y(B25))" />
<element type="numeric" label="D25">
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<command name="Vector">
<input a0="B25" a1="B25 - (C25, D25)"/>
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<element type="vector" label="E25">
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</element>
<command name="Distance">
<input a0="(0, 0)" a1="(0, 0) + E25"/>
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</command>
<element type="numeric" label="F25">
<value val="5.189612747556452E-7"/>
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</element>
<command name="Vector">
<input a0="B25" a1="B25 + (step * E25)"/>
<output a0="G25"/>
</command>
<element type="vector" label="G25">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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</element>
<expression label="H25" exp="f(x(B25), y(B25))" />
<element type="numeric" label="H25">
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<expression label="I25" exp="H25 - H24" />
<element type="numeric" label="I25">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="J25" exp="(x(B25), y(B25), H25)" type="point" />
<element type="point3d" label="J25">
<show object="true" label="false" ev="5"/>
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</element>
<command name="Segment">
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<element type="segment3d" label="K25">
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<expression label="B26" exp="B25 + G25" type="point" />
<element type="point" label="B26">
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<expression label="D26" exp="fy(x(B26), y(B26))" />
<element type="numeric" label="D26">
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<command name="Vector">
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<element type="vector" label="E26">
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<command name="Distance">
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<command name="Vector">
<input a0="B26" a1="B26 + (step * E26)"/>
<output a0="G26"/>
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<element type="vector" label="G26">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
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<expression label="H26" exp="f(x(B26), y(B26))" />
<element type="numeric" label="H26">
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<expression label="I26" exp="H26 - H25" />
<element type="numeric" label="I26">
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<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
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<expression label="J26" exp="(x(B26), y(B26), H26)" type="point" />
<element type="point3d" label="J26">
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<command name="Segment">
<input a0="J25" a1="J26"/>
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<element type="segment3d" label="K26">
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<element type="numeric" label="index">
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<expression label ="A2" exp="1"/>
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<expression label ="A3" exp="2"/>
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<element type="numeric" label="A10">
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<element type="numeric" label="A11">
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<element type="numeric" label="A12">
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<element type="numeric" label="A20">
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<element type="numeric" label="A21">
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<element type="numeric" label="A22">
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<element type="numeric" label="A23">
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<element type="numeric" label="A25">
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<element type="numeric" label="A26">
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<expression label="text1" exp=""(x, y)=" + (LaTeX[Cell[2, index + 1]]) + """ />
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="11"/>
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<expression label="runButton" exp="" Run/Stop ""/>
<element type="text" label="runButton">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
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<ggbscript val="run = !run StartAnimation[index, run]"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""z = " + (LaTeX[Cell[8, index + 1]]) + """ />
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="43"/>
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</element>
<expression label="text4" exp=""dz = " + (LaTeX[Cell[9, index + 1]]) + """ />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="43"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
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<absoluteScreenLocation x="38" y="304"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""" + index + " / 25"" />
<element type="text" label="text2">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<expression label="text5" exp=""▶||""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="false" label="false" ev="37"/>
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<ggbscript val="SetValue[index, 25]"/>
</element>
<command name="Textfield">
<casMap>
<entry key="Derivative[(k ((sin(x) sin(y)) + 2)),x,1]" val="((k * cos(x)) * sin(y))"/>
<entry key="Derivative[(k ((sin(x) sin(y)) + 2)),y,1]" val="((k * cos(y)) * sin(x))"/>
</casMap>
<input a0="f"/>
<output a0="inputBox1"/>
</command>
<element type="textfield" label="inputBox1">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
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<layer val="0"/>
<labelOffset x="16" y="23"/>
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<font serif="false" sizeM="1.4" size="5" style="0"/>
<linkedGeo exp="f"/>
<length val="15"/>
<caption val="f(x, y) ="/>
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<element type="button" label="button1">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="32" g="32" b="32" alpha="1.0"/>
<bgColor r="255" g="153" b="204" alpha="255"/>
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<ggbscript val="run = !run If[run, SetValue[index, 1]] StartAnimation[index, run]"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="5" style="0"/>
<caption val="run / stop"/>
</element>
<element type="numeric" label="minK">
<value val="1.0"/>
<show object="false" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
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<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="numeric" label="maxK">
<value val="3.0"/>
<show object="false" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Textfield">
<input a0="minK"/>
<output a0="inputBox2"/>
</command>
<element type="textfield" label="inputBox2">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
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<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<fixed val="true"/>
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<linkedGeo exp="minK"/>
<length val="5"/>
<caption val="min"/>
</element>
<command name="Textfield">
<input a0="maxK"/>
<output a0="inputBox3"/>
</command>
<element type="textfield" label="inputBox3">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="201" y="132"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<fixed val="true"/>
<auxiliary val="true"/>
<linkedGeo exp="maxK"/>
<length val="5"/>
<caption val="max"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="Cell[2, index + 1]" a1="Cell[10, index + 1]"/>
<output a0="m"/>
</command>
<element type="segment3d" label="m">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
</construction>
</geogebra>