外摆线的生成与参数方程演示
2018-06-13 06:48
本范例动态演示了外摆线的几何生成过程。通过设定半径为r的小圆在半径为R的大圆外侧无滑动地滚动，追踪小圆上一定点的运动轨迹，直观展示外摆线的形成。同时，利用参数方程和三角函数精确描述该轨迹，帮助学习者深入理解其几何性质及与圆、向量等概念的联系。
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微积分
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<expression label ="kEarth4_x" exp="0.07"/>
<element type="numeric" label="kEarth4_x">
<value val="0.07"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label ="kEarth4_y" exp="0.01"/>
<element type="numeric" label="kEarth4_y">
<value val="0.01"/>
<symbolic val="true" />
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label="PinEarth4" exp="O + (R * (-1 - kEarth4_x, 1 + kEarth4_y))" type="point" />
<element type="point" label="PinEarth4">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-6.42" y="6.0600000000000005" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="O" a1="R + r"/>
<output a0="cir_r"/>
</command>
<element type="conic" label="cir_r">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showControls"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="3" type="20" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-64" A3="0" A4="0" A5="0"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<expression label="kPinR" exp="(20 * pixels)" />
<element type="numeric" label="kPinR">
<value val="0.7477235947948312"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="txR" exp=""R""/>
<element type="text" label="txR">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<condition showObject="showLabels"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<startPoint exp="PinR"/>
<labelOffset x="-16" y="-16"/>
</element>
<expression label="kPinThetaAngle" exp="(m * θu) + θ0 / 2" />
<element type="numeric" label="kPinThetaAngle">
<value val="0.684"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="kPinThetaR" exp="(50 * pixels)" />
<element type="numeric" label="kPinThetaR">
<value val="1.8693089869870778"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="PinTheta" exp="(kPinThetaR; kPinThetaAngle)" type="point" />
<element type="point" label="PinTheta">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.4488104217578897" y="1.1812131266779846" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="txTheta" exp=""θ""/>
<element type="text" label="txTheta">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<condition showObject="showTheta ∧ showLabels"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<startPoint exp="PinTheta"/>
<labelOffset x="-12" y="-14"/>
</element>
<element type="numeric" label="n">
<value val="5"/>
<symbolic val="true" />
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="127" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
<bgColor r="224" g="224" b="224" alpha="255"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="-3" y="5"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="1" max="5" absoluteScreenLocation="true" width="100" x="45" y="416" fixed="false" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<pointSize val="10"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<caption val="圈數"/>
</element>
<expression label="maxT" exp="((2 * n) * π / ω)" />
<element type="numeric" label="maxT">
<value val="157.07963267948966"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="P"/>
<output a0="segCP"/>
</command>
<element type="segment" label="segCP">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.450207865653927" y="-1.3772788920169656" z="13.129117672174926"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="B"/>
<output a0="segOB"/>
</command>
<element type="segment" label="segOB">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="-5.8770432144424944" y="1.2084548214871036" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="showCoords">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="28" y="479"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="圓心座標系"/>
</element>
<command name="Mod">
<input a0="s" a1="((2 * π) * r)"/>
<output a0="s0"/>
</command>
<element type="numeric" label="s0">
<value val="8.208"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="F" exp="(R; (m * θu))" type="point" />
<element type="point" label="F">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="6" y="0" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="CircleArc">
<input a0="O" a1="F" a2="B"/>
<output a0="arc1"/>
</command>
<element type="conicpart" label="arc1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="11" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-36" A3="0" A4="0" A5="0"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="O" a1="F"/>
<output a0="segOF"/>
</command>
<element type="segment" label="segOF">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0" y="6" z="0"/>
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<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="CircleSector">
<input a0="O" a1="F" a2="B"/>
<output a0="sec1"/>
</command>
<element type="conicpart" label="sec1">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="224" g="224" b="224" alpha="0.550000011920929"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="-36" A3="0" A4="0" A5="0"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Angle">
<input a0="F" a1="O" a2="B"/>
<output a0="angT"/>
</command>
<element type="angle" label="angT">
<angleStyle val="0"/>
<value val="1.368"/>
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="θ0 > 0.4"/>
<objColor r="128" g="0" b="128" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<decoration type="6"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="2" opacity="178"/>
<arcSize val="30"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="showTheta" exp="θ0 > 0.3" />
<element type="boolean" label="showTheta">
<value val="true"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<element type="boolean" label="showControls">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="28" y="506"/>
<labelMode val="3"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="顯示控制點"/>
</element>
<command name="Vector">
<input a0="O" a1="F"/>
<output a0="e_1"/>
</command>
<element type="vector" label="e_1">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="3"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="6" y="0" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<startPoint exp="O"/>
<caption val="圓 R 上的座標系 (用於計算圓弧用)"/>
</element>
<expression label="e_2" exp="((-y(e_1)), x(e_1))" type="vector" />
<element type="vector" label="e_2">
<show object="false" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="3"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0" y="6" z="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<coordStyle style="cartesian"/>
<caption val="圓 R 上的座標系 (用於計算圓弧用)"/>
</element>
<expression label="PinR" exp="F / 2 - (kPinR * e_2 / R)" type="point" />
<element type="point" label="PinR">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="3" y="-0.7477235947948312" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="kPhiR" exp="(40 * pixels)" />
<element type="numeric" label="kPhiR">
<value val="1.4954471895896624"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="kPhiAngle" exp="θ + If[r > 0, π, 0] + (sgn(r) * Mod[ϕ, (2 * π)] / 2)" />
<element type="numeric" label="kPhiAngle">
<value val="6.561592653589793"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="PinPhi" exp="C + (kPhiR; kPhiAngle)" type="point" />
<element type="point" label="PinPhi">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="3.0491371308837287" y="8.247043400121282" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="txPhi" exp=""ϕ""/>
<element type="text" label="txPhi">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<condition showObject="showPhi ∧ showLabels"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<startPoint exp="PinPhi"/>
<labelOffset x="-15" y="-16"/>
</element>
<command name="Mod">
<input a0="ϕ" a1="(2 * π)"/>
<output a0="α0"/>
</command>
<element type="numeric" label="α0">
<value val="4.104"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="showPhi" exp="α0 > 0.4" />
<element type="boolean" label="showPhi">
<value val="true"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="A" a1="D"/>
<output a0="segAD"/>
</command>
<element type="segment" label="segAD">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="showControls"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="0" y="2" z="0"/>
<lineStyle thickness="3" type="20" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="txRatio" exp=""\frac{R}{r}=" + (LaTeX[R / r]) + """ />
<element type="text" label="txRatio">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="24" y="79"/>
</element>
<expression label="kPinS" exp="(20 * pixels)" />
<element type="numeric" label="kPinS">
<value val="0.7477235947948312"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="PinS" exp="(R - kPinS; kPinThetaAngle)" type="point" />
<element type="point" label="PinS">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="4.070783828027954" y="3.3189044069001157" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="txS" exp=""s""/>
<element type="text" label="txS">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<condition showObject="θ0 > 0.15 ∧ showLabels"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<startPoint exp="PinS"/>
<labelOffset x="-12" y="-15"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="C" a1="B"/>
<output a0="segCB"/>
</command>
<element type="segment" label="segCB">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<condition showObject="(¬showCoords) ∧ r > 0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<coords x="1.9590144048141651" y="-0.40281827382903446" z="-1.7763568394002505e-15"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="kPinr" exp="((sgn(r) * 15) * pixels)" />
<element type="numeric" label="kPinr">
<value val="0.5607926960961234"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="Pinr" exp="C + u / 2 - (kPinr * v / r)" type="point" />
<element type="point" label="Pinr">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.8605634735181819" y="6.969499189758263" z="1"/>
<coordStyle style="polar"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="txr" exp=""r""/>
<element type="text" label="txr">
<show object="true" label="false" ev="20"/>
<condition showObject="showLabels"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<startPoint exp="Pinr"/>
<labelOffset x="-12" y="-14"/>
</element>
<expression label="txEq1" exp=""θR=s=ϕr""/>
<element type="text" label="txEq1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.4" size="7" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="17" y="23"/>
</element>
<element type="boolean" label="animate">
<value val="true"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="StartAnimation(t, animate)"/>
</element>
<element type="image" label="sidebar">
<file name="272e4917ac634b3f78585296b64b36e5/black.png"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="C1"/>
<startPoint number="1" exp="PinBanner"/>
<startPoint number="2" exp="C4"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.8500000238418579"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<selectionAllowed val="false"/>
</element>
<expression label="kBannerWidth" exp="(200 * pixels)" />
<element type="numeric" label="kBannerWidth">
<value val="7.477235947948311"/>
<symbolic val="true" />
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.10000000149011612"/>
</element>
<expression label="PinBanner" exp="C1 + (kBannerWidth, 0)" type="point" />
<element type="point" label="PinBanner">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-14.384631472405353" y="-11.331998247894319" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Corner">
<input a0="4"/>
<output a0="C4"/>
</command>
<element type="point" label="C4">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-21.861867420353665" y="10.453911245811701" z="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Circle">
<input a0="C" a1="abs(r)"/>
<output a0="cir2"/>
</command>
<element type="conic" label="cir2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1" opacity="178"/>
<eigenvectors x0="1" y0="0" z0="1.0" x1="0" y1="1" z1="1.0"/>
<matrix A0="1" A1="1" A2="59.99999999999999" A3="0" A4="-1.611273095316138" A5="-7.83605761925666"/>
<eqnStyle style="specific"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="r > 0" a1="CircleArc[C, B, P]" a2="CircleArc[C, P, B]"/>
<output a0="arc2"/>
</command>
<element type="conicpart" label="arc2">
<show object="true" label="false" ev="4"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
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<element type="vector" label="u2">
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<command name="CurveCartesian">
<input a0="(R + r; (θ * t)) - (r; (((1 + k) * θ) * t))" a1="t" a2="0" a3="1"/>
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<element type="curvecartesian" label="cycloid">
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