黎曼和与定积分近似计算
2014-04-11 02:01
本范例演示了黎曼和的概念及其在定积分近似计算中的应用。用户可自定义输入函数及积分区间,系统将自动调整视窗显示比例。通过动态调整分割数量,直观展示矩形面积和如何逼近函数曲线下的真实面积,帮助深入理解微积分中积分的基本思想与极限过程。
所属专题
微积分
GeoGebra 画板及绘图内容加载中,请稍等……
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="4.4" version="4.4.22.0" id="1d61cf3f-d45b-4c04-ba63-1e56bf1a8982" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="786" height="878" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.5797266514806378" orientation="0" />
</panes>
<views>
<view id="4097" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1,1,1" size="400" window="740,350,700,550" />
<view id="4" toolbar="0 59 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 | 1011 || 1008 1009 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="0" size="509" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="3" size="200" window="1167,37,250,724" />
<view id="16" visible="true" inframe="false" stylebar="false" location="2" size="250" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="true" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="true" items="0 39 59 | 1 501 67 , 5 19 , 72 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 | 30 29 54 32 31 33 | 17 26 62 73 , 14 66 68 | 25 52 60 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="true" cmd="true" top="false" />
<dockBar show="true" east="true" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="12"/>
<graphicsSettings javaLatexFonts="false"/>
</gui>
<euclidianView>
<size width="775" height="463"/>
<coordSystem xMin="x1" xMax="x2" yMin="y1" yMax="y2"/>
<evSettings axes="true" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="0" grid="10"/>
<axis id="0" show="true" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="false"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="2"/>
<size width="775" height="231"/>
<coordSystem xMin="x1" xMax="x2" yMin="y1" yMax="y2"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="3" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="255"/>
<axesColor r="0" g="0" b="0"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="10"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0"/>
<coordStyle val="0"/>
<angleFromInvTrig val="false"/>
</kernel>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<expression label ="f" exp="f(x) = sin(x)"/>
<element type="function" label="f">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript onUpdate="ZoomIn[x1, y1, x2, y2]"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
</element>
<element type="numeric" label="a">
<value val="-1.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="numeric" label="b">
<value val="2.0"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Integral">
<input a0="f" a1="a" a2="b"/>
<output a0="s"/>
</command>
<element type="numeric" label="s">
<value val="0.9564491424152821"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showArea"/>
<objColor r="255" g="215" b="0" alpha="0.5"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<element type="numeric" label="t">
<value val="0.5"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<condition showObject="showT"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="0" max="1" absoluteScreenLocation="true" width="100.0" x="654.0" y="175.0" fixed="true" horizontal="true"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<command name="Function" var="x">
<input a0="f" a1="a" a2="b"/>
<output a0="g"/>
</command>
<element type="function" label="g">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="7" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<element type="numeric" label="n">
<value val="10.0"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<slider min="1" max="50" absoluteScreenLocation="true" width="200.0" x="246.0" y="115.0" fixed="true" horizontal="true"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="3" playing="false"/>
</element>
<expression label="dx" exp="(b - a) / n" />
<element type="numeric" label="dx">
<value val="0.3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="a + (k * dx)" a1="k" a2="0" a3="n - 1"/>
<output a0="xs"/>
</command>
<element type="list" label="xs">
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="f(Element[xs, k] + (t * dx))" a1="k" a2="1" a3="n"/>
<output a0="ys"/>
</command>
<element type="list" label="ys">
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[(Element[xs, k], 0), (Element[xs, k] + dx, 0), (Element[xs, k] + dx, Element[ys, k]), (Element[xs, k], Element[ys, k])]" a1="k" a2="1" a3="n"/>
<output a0="p"/>
</command>
<element type="list" label="p">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="51" b="204" alpha="0.5"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Textfield">
<input a0="f"/>
<output a0="inputFunction"/>
</command>
<element type="textfield" label="inputFunction">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="15" y="15"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<linkedGeo exp="f"/>
<length val="10"/>
<caption val="f(x) ="/>
</element>
<command name="Textfield">
<input a0="a"/>
<output a0="inputA"/>
</command>
<element type="textfield" label="inputA">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="42" y="62"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<linkedGeo exp="a"/>
<length val="3"/>
<caption val="a ="/>
</element>
<command name="Textfield">
<input a0="b"/>
<output a0="inputB"/>
</command>
<element type="textfield" label="inputB">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="40" y="108"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<linkedGeo exp="b"/>
<length val="3"/>
<caption val="b ="/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Element[xs, k] + (t * dx)" a1="k" a2="1" a3="n"/>
<output a0="xs2"/>
</command>
<element type="list" label="xs2">
<objColor r="0" g="100" b="0" alpha="0.1"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(Element[xs2, k], 0), (Element[xs2, k], Element[ys, k])]" a1="k" a2="1" a3="n"/>
<output a0="segs"/>
</command>
<element type="list" label="segs">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showRieman ∧ showT"/>
<objColor r="96" g="96" b="96" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<selectionAllowed val="false"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sum">
<input a0="p"/>
<output a0="sn"/>
</command>
<element type="numeric" label="sn">
<value val="1.8728682201291784"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="as" exp="(a * s)" />
<element type="numeric" label="as">
<value val="-0.9564491424152821"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="fmin" exp="y(Min[f, a, b])" />
<element type="numeric" label="fmin">
<value val="-0.8414709697251465"/>
<objColor r="68" g="68" b="68" alpha="0.0"/>
</element>
<expression label="fmax" exp="y(Max[f, a, b])" />
<element type="numeric" label="fmax">
<value val="1.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="padx" exp="abs(b - a) / 4" />
<element type="numeric" label="padx">
<value val="0.75"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="x1" exp="Min[a, b] - padx" />
<element type="numeric" label="x1">
<value val="-1.75"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="x2" exp="Max[a, b] + padx" />
<element type="numeric" label="x2">
<value val="2.75"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Min">
<input a0="0" a1="fmin"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="numeric" label="c">
<value val="-0.8414709697251465"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<command name="Max">
<input a0="0" a1="fmax"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="numeric" label="d">
<value val="1.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="pady" exp="abs(c - d) / 4" />
<element type="numeric" label="pady">
<value val="0.46036774243128664"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="y1" exp="c - pady" />
<element type="numeric" label="y1">
<value val="-1.301838712156433"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<expression label="y2" exp="d + pady" />
<element type="numeric" label="y2">
<value val="1.4603677424312866"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
</element>
<element type="button" label="btnPlus">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="469" y="102"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[n, n+1]"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<file name="/geogebra/gui/images/go-next.png"/>
</element>
<element type="button" label="btnMinus">
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="197" y="101"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="SetValue[n, n-1]"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<file name="/geogebra/gui/images/go-previous.png"/>
</element>
<element type="boolean" label="showT">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="547" y="153"/>
<labelMode val="0"/>
<caption val="取值點"/>
</element>
<element type="boolean" label="showArea">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="547" y="15"/>
<labelMode val="0"/>
<caption val="積分"/>
</element>
<element type="boolean" label="showRieman">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="548" y="50"/>
<labelMode val="0"/>
<caption val="黎曼和"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(a, 0)" a1="(a, f(a))"/>
<output a0="seg1"/>
</command>
<element type="segment" label="seg1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.8414709848078965" y="0.0" z="0.8414709848078965"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(b, 0)" a1="(b, f(b))"/>
<output a0="seg2"/>
</command>
<element type="segment" label="seg2">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-0.9092974268256817" y="0.0" z="1.8185948536513634"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="RectangleSum">
<input a0="f" a1="a" a2="b" a3="n" a4="t"/>
<output a0="rieman"/>
</command>
<element type="numeric" label="rieman">
<value val="0.9600452641338934"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showRieman"/>
<objColor r="51" g="51" b="255" alpha="0.25" fillType="1" hatchAngle="45" hatchDistance="5"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="1"/>
<lineStyle thickness="1" type="0" typeHidden="1"/>
</element>
<element type="button" label="play">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1.0"/>
<bgColor r="0" g="153" b="255" alpha="255"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="410" y="143"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="n=10 StartAnimation[n, true]"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<file name="/geogebra/main/nav_play.png"/>
</element>
<element type="button" label="stop">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1.0"/>
<bgColor r="255" g="51" b="204" alpha="255"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="336" y="145"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="StartAnimation[n, false]"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<file name="/geogebra/main/nav_pause.png"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""面積:" + sn + """ />
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="3"/>
<objColor r="128" g="128" b="128" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="358" y="80"/>
</element>
<expression label="ab" exp="(a * b)" />
<element type="numeric" label="ab">
<value val="-2.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<element type="button" label="back">
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1.0"/>
<bgColor r="255" g="127" b="0" alpha="255"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="264" y="145"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<auxiliary val="true"/>
<ggbscript val="StartAnimation[n, false] n = 10"/>
<font serif="false" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<file name="/geogebra/gui/images/nav_skipback.png"/>
</element>
<expression label="txtError" exp=""誤差:" + ((100 * abs(s - rieman) / abs(s))) + "%"" />
<element type="text" label="txtError">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="e"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<decimals val="1"/>
<absoluteScreenLocation x="628" y="50"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""" + a + """ />
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showEnds"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<startPoint exp="(a, 0)"/>
<labelOffset x="-6" y="27"/>
</element>
<expression label="text6" exp=""" + b + """ />
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showEnds"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<startPoint exp="(b, 0)"/>
<labelOffset x="-5" y="25"/>
</element>
<element type="boolean" label="showEnds">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="547" y="118"/>
<labelMode val="0"/>
<caption val="端點"/>
</element>
<expression label="txtRieman" exp=""s_{" + (LaTeX[n]) + "}=\sum_{k=1}^{n}{f(x_k)\Delta x }=" + (LaTeX[rieman]) + """ />
<element type="text" label="txtRieman">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showRieman"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<decimals val="4"/>
<absoluteScreenLocation x="11" y="9"/>
</element>
<expression label="txtIntegral" exp=""s=\int_{a}^{b}{f(x)dx }=" + (LaTeX[s]) + """ />
<element type="text" label="txtIntegral">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="showArea"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<bgColor r="255" g="255" b="0" alpha="255"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2.0" size="12" style="0"/>
<decimals val="4"/>
<absoluteScreenLocation x="468" y="373"/>
</element>
<element type="boolean" label="e">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true" ev="3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelOffset x="656" y="15"/>
<labelMode val="0"/>
<caption val="誤差"/>
</element>
</construction>
</geogebra>