Fractal Pattern of the Koch Snowflake
2020-07-28 07:41
This applet demonstrates the fractal pattern generation of the Koch snowflake. By iteratively constructing new equilateral triangles on the edges of a starting triangle, it illustrates the self-similarity property of fractal geometry. Users can observe the iterative process to understand mathematical concepts such as fractals, limits, and geometric transformations.
Loading the GeoGebra board and drawing, please wait…
<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<geogebra format="5.0" version="5.0.732.0" app="classic" platform="w" id="7c5730d7-e5e4-4a94-a469-6fd936e66cc8" xsi:noNamespaceSchemaLocation="http://www.geogebra.org/apps/xsd/ggb.xsd" xmlns="" xmlns:xsi="http://www.w3.org/2001/XMLSchema-instance" >
<gui>
<window width="1900" height="1040" />
<perspectives>
<perspective id="tmp">
<panes>
<pane location="" divider="0.18421052631578946" orientation="1" />
</panes>
<views>
<view id="4097" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1,1,1" size="400" window="610,240,700,550" />
<view id="512" toolbar="0 | 1 501 5 19 , 67 | 2 15 45 18 , 7 37 | 514 3 9 , 13 44 , 47 | 16 | 551 550 11 , 20 22 21 23 , 55 56 57 , 12 | 69 | 510 511 , 512 513 | 533 531 , 534 532 , 522 523 , 537 536 , 535 | 521 520 | 36 , 38 49 560 | 571 30 29 570 31 33 | 17 | 540 40 41 42 , 27 28 35 , 6 , 502" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1,1" size="500" window="100,100,600,400" />
<view id="4" toolbar="0 || 2020 , 2021 , 2022 , 66 || 2001 , 2003 , 2002 , 2004 , 2005 || 2040 , 2041 , 2042 , 2044 , 2043" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,1" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="8" toolbar="1001 | 1002 | 1003 || 1005 | 1004 || 1006 | 1007 | 1010 || 1008 1009 || 66 68 || 6" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1,3" size="300" window="100,100,600,400" />
<view id="1" visible="true" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="1898" window="100,100,600,400" />
<view id="2" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="3" size="350" tab="ALGEBRA" window="100,100,600,400" />
<view id="16" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="32" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="64" toolbar="0" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
<view id="128" visible="false" inframe="false" stylebar="false" location="1" size="480" window="50,50,500,500" />
<view id="70" toolbar="0 || 2020 || 2021 || 2022" visible="false" inframe="false" stylebar="true" location="1" size="150" window="50,50,500,500" />
</views>
<toolbar show="false" items="0 39 73 62 | 1 501 67 , 5 19 , 72 75 76 | 2 15 45 , 18 65 , 7 37 | 4 3 8 9 , 13 44 , 58 , 47 | 16 51 64 , 70 | 10 34 53 11 , 24 20 22 , 21 23 | 55 56 57 , 12 | 36 46 , 38 49 50 , 71 14 68 | 30 29 54 32 31 33 | 25 17 26 60 52 61 | 40 41 42 , 27 28 35 , 6" position="1" help="false" />
<input show="false" cmd="true" top="algebra" />
<dockBar show="false" east="false" />
</perspective>
</perspectives>
<labelingStyle val="3"/>
<font size="24"/>
</gui>
<euclidianView>
<viewNumber viewNo="1"/>
<size width="1897" height="1037"/>
<coordSystem xZero="198.41325019229268" yZero="296.0258537123854" scale="46.98934669918034" yscale="46.98934669918034"/>
<evSettings axes="false" grid="false" gridIsBold="false" pointCapturing="0" rightAngleStyle="1" checkboxSize="26" gridType="3"/>
<bgColor r="0" g="0" b="0"/>
<axesColor r="255" g="255" b="255"/>
<gridColor r="192" g="192" b="192"/>
<lineStyle axes="1" grid="0"/>
<axis id="0" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
<axis id="1" show="false" label="" unitLabel="" tickStyle="1" showNumbers="true"/>
</euclidianView>
<kernel>
<continuous val="false"/>
<usePathAndRegionParameters val="true"/>
<decimals val="2"/>
<angleUnit val="degree"/>
<algebraStyle val="0" spreadsheet="0"/>
<coordStyle val="0"/>
</kernel>
<tableview min="-2" max="2" step="1"/>
<scripting blocked="false" disabled="false"/>
<construction title="" author="" date="">
<element type="point" label="C">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="-2.668971990506105" y="0.9156512429898486" z="1"/>
</element>
<expression label="E" exp="C + (0, -3.5)" type="point" />
<element type="point" label="E">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="-2.668971990506105" y="-2.5843487570101513" z="1"/>
</element>
<expression label="G" exp="E + (0, -3.5)" type="point" />
<element type="point" label="G">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="-2.668971990506105" y="-6.084348757010151" z="1"/>
</element>
<element type="point" label="A">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<pointSize val="9"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="19.78292560138793" y="-11.555260594782562" z="1"/>
</element>
<element type="image" label="T1">
<file name="9c61f93727f1d5a829db4030dfabe262/snow1.jpg"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="A"/>
<startPoint number="1" exp="B"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="n ≟ 1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="image" label="T2">
<file name="4b2d93c1e813deb26e2effde27b3845e/snow2.JPG"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="A"/>
<startPoint number="1" exp="B"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="n ≟ 2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="image" label="T3">
<file name="62f1f656bcfab896313de47abc0a724f/snow3.JPG"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="A"/>
<startPoint number="1" exp="B"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="n ≟ 3"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="image" label="T4">
<file name="4be4eecd7671850613b9afc44f1b7bb4/snow4.JPG"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="A"/>
<startPoint number="1" exp="B"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="n ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="image" label="T5">
<file name="48e1c9b1ef875f56b57cd2d979dd7d08/snow5.JPG"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="A"/>
<startPoint number="1" exp="B"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="n ≟ 5"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<element type="image" label="pic7">
<file name="d7ebbc644f99087d14c5432979f892d4/T1.png"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="C"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript val="n=1"/>
</element>
<element type="image" label="pic8">
<file name="10d70a35bdb491b124413541b3a849dd/T2.png"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="E"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript val="n=2
"/>
</element>
<expression label="I" exp="G + (0, -3.5)" type="point" />
<element type="point" label="I">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="-2.668971990506105" y="-9.58434875701015" z="1"/>
</element>
<element type="image" label="pic9">
<file name="322a79ff2e10784d339698ca59d459ce/T3.png"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="G"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript val="n=3"/>
</element>
<element type="image" label="pic10">
<file name="88bf7641587e08ea00770a12766227d9/T4.png"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="I"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript val="n=4"/>
</element>
<element type="image" label="pic11">
<file name="69757d5d4a43b5222cdd42c804a039c1/T5.png"/>
<inBackground val="false"/>
<startPoint number="0" exp="K"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="1"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
<ggbscript val="n=5"/>
</element>
<expression label="K" exp="I + (0, -3.5)" type="point" />
<element type="point" label="K">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="-2.668971990506105" y="-13.08434875701015" z="1"/>
</element>
<expression label="B" exp="A + (16, 0)" type="point" />
<element type="point" label="B">
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="35.78292560138793" y="-11.555260594782562" z="1"/>
</element>
<element type="numeric" label="n">
<value val="5"/>
<slider min="1" max="5" absoluteScreenLocation="true" width="200" x="1159" y="63" fixed="true" horizontal="true" showAlgebra="true"/>
<lineStyle thickness="10" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0.10000000149011612"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="1"/>
<animation step="1" speed="1" type="0" playing="false"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""T_1 為邊長等於 1 的正三角形。""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 1"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="24" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="401" y="324"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""以 T_1 每一邊中間三分之一\\
的線段為一邊向外作正三角形，\\
然後將該三分之一線段抹去\\
所得的多邊形為 T_2 。\\\\
\yellow{由 T_1 變化為 T_2 時，每一邊\\
長度會變成原來的\frac{4}{3}倍。\\
所以 T_2 的周長為 3×\frac{4}{3}=4。}""/>
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 2"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="24" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="382" y="174"/>
</element>
<expression label="text3" exp=""對 T_2 的每一線段都重複上一步\\
的步驟。得到的多邊形為 T_3。\\\\\\
\yellow{由 T_2 變化為 T_3 時，每一邊\\
長度也會變成原來的\frac{4}{3}倍。\\
所以 T_3 的周長為\\
3×\left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{3}。}""/>
<element type="text" label="text3">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 3"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="24" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="390" y="180"/>
</element>
<expression label="text3_1" exp=""對 T_3 的每一線段都重複上一步\\
的步驟。得到的多邊形為 T_4。\\\\\\
\yellow{由 T_3 變化為 T_4 時，每一邊\\
長度也會變成原來的\frac{4}{3}倍。\\
所以 T_4 的周長為\\
3×\left( \frac{4}{3} \right)^3 =\frac{64}{9}。}""/>
<element type="text" label="text3_1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 4"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="24" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="390" y="180"/>
</element>
<expression label="text3_2" exp=""對 T_4 的每一線段都重複上一步\\
的步驟。得到的多邊形為 T_3。\\\\\\
\yellow{由 T_4 變化為 T_5 時，每一邊\\
長度也會變成原來的\frac{4}{3}倍。\\
所以 T_5 的周長為\\
3×\left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{27}。}""/>
<element type="text" label="text3_2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 5"/>
<objColor r="255" g="255" b="255" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="2" size="24" style="1"/>
<absoluteScreenLocation x="390" y="180"/>
</element>
<expression label="text4" exp=""T1""/>
<element type="text" label="text4">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 1"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="4" size="72" style="1"/>
<startPoint exp="P"/>
</element>
<expression label="P" exp="(A + B) / 2 + (-2, 10)" type="point" />
<element type="point" label="P">
<show object="false" label="true" ev="4"/>
<objColor r="255" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
<coords x="25.78292560138793" y="-1.5552605947825615" z="1"/>
</element>
<expression label="text4_1" exp=""T2""/>
<element type="text" label="text4_1">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 2"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="4" size="72" style="1"/>
<startPoint exp="P"/>
</element>
<expression label="text4_2" exp=""T3""/>
<element type="text" label="text4_2">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 3"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="4" size="72" style="1"/>
<startPoint exp="P"/>
</element>
<expression label="text4_3" exp=""T4""/>
<element type="text" label="text4_3">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 4"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="4" size="72" style="1"/>
<startPoint exp="P"/>
</element>
<expression label="text4_4" exp=""T5""/>
<element type="text" label="text4_4">
<show object="true" label="false" ev="40"/>
<condition showObject="n ≟ 5"/>
<objColor r="0" g="255" b="0" alpha="0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="4" size="72" style="1"/>
<startPoint exp="P"/>
</element>
</construction>
</geogebra>