Visual Demonstration of Fraction Division (Integer or Fraction ÷ Fraction)
2019-12-08 07:44
This GeoGebra applet visually demonstrates fraction division using geometric area models and strip diagrams, covering both integer ÷ fraction and fraction ÷ fraction operations. Built with polygons, sequences, and FractionText commands, it dynamically illustrates the geometric meaning and reasoning behind division by fractions, helping learners understand why dividing by a fraction equals multiply
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<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="10" y="502"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<expression label="text6" exp="floor(a' * x(C) / b') + " 張"" />
<element type="text" label="text6">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="紙條數目 ∧ (b' ≤ a')"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.25" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="-12" y="39"/>
</element>
<expression label="text10" exp=""\leftarrow""/>
<element type="text" label="text10">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.25" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="-20" y="-7"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(x(A) + 1, y(A))" a1="(x(A) + 1, y(A) + w)"/>
<output a0="e"/>
</command>
<element type="segment" label="e">
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<condition showObject="a ≥ 1"/>
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<eqnStyle style="implicit"/>
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</element>
<command name="Segment">
<input a0="E" a1="(x(E) + 1, y(E))"/>
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</command>
<element type="segment" label="j_1">
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="F"/>
<output a0="l_1"/>
</command>
<element type="segment" label="l_1">
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<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
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<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="B" a1="(x(B) + 1, y(B))" a2="(x(B) + 1, y(B) + 1)" a3="(x(B), y(B) + 1)"/>
<output a0="poly1" a1="poly1_1" a2="poly1_2" a3="poly1_3" a4="poly1_4"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly1">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
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<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="poly1_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≤ 1) ∨ If[2 * b' / a' > 1, If[x(C) < 2 * b' / a', true, false], If[x(C) < 3 * b' / a', true, false]]"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly1_2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="((x(C) ≤ 1) ∨ If[2 * b' / a' > 1, If[x(C) < 2 * b' / a', true, false], If[x(C) < 3 * b' / a', true, false]]) ∧ If[(b' > 1) ∧ x(C) ≟ 1, false, true] ∧ (¬z)"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly1_3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≤ 1) ∨ If[2 * b' / a' > 1, If[x(C) < 2 * b' / a', true, false], If[x(C) < 3 * b' / a', true, false]]"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-1.0" z="1.0"/>
<lineStyle thickness="3" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly1_4">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="x(C) < 2 * b' / a'"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(k / a', y(B)), (k / a', y(B) + 1)]" a1="k" a2="1" a3="a' - 1"/>
<output a0="list2"/>
</command>
<element type="list" label="list2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(b' < a') ∨ (b' > a') ∧ z ∧ (¬integer2)"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(k / a', y(B)), (k / a', y(B) + 1)]" a1="k" a2="1" a3="floor(a' * x(C) / b') * b' - 1"/>
<output a0="list3"/>
</command>
<element type="list" label="list3">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="b' < a'"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a', y(B))" a1="C"/>
<output a0="h"/>
</command>
<element type="segment" label="h">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="x(C) ≥ a"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a', y(B) + 1)" a1="(x(C), y(C) + 1)"/>
<output a0="i"/>
</command>
<element type="segment" label="i">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="x(C) ≥ a"/>
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<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(k / a', y(B)), (k / a', y(B) + 1)]" a1="k" a2="1" a3="floor(a' * x(C)) - 1"/>
<output a0="list4"/>
</command>
<element type="list" label="list4">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (b' < a')"/>
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<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(k * b' / a', y(B)), (k * b' / a', y(B) + 1)]" a1="k" a2="1" a3="floor(a' * x(C) / b') - 1"/>
<output a0="list1"/>
</command>
<element type="list" label="list1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="b' ≤ a'"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="8" type="0" typeHidden="1"/>
<listType val="segment"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a', y(B))" a1="C" a2="(x(C), y(C) + 1)" a3="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a', y(B) + 1)"/>
<output a0="poly3" a1="poly3_1" a2="poly3_2" a3="poly3_3" a4="poly3_4"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly3">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="x(C) ≥ a"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="1.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="poly3_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly3_2">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly3_3">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly3_4">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
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<labelMode val="0"/>
<coords x="1.0" y="0.0" z="-0.75"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="T1" exp=""+\frac{" + (a * a' - b' * floor(a' * a / b')) + "}{" + b' + "}張=" + (floor(a' * a / b')) + "\frac{" + (a * a' - b' * floor(a' * a / b')) + "}{" + b' + "}張"" />
<element type="text" label="T1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (a * a' - b' * floor(a' * a / b') > 0) ∧ 還需多少張 ∧ 紙條數目 ∧ (b' < a')"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.25" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="35" y="1"/>
</element>
<element type="boolean" label="還需多少張">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (a * a' - b' * floor(a' * a / b') > 0) ∧ 紙條數目 ∧ (b' < a')"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="10" y="530"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<expression label="text5" exp=""分子""/>
<element type="text" label="text5">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="0.875" size="-2" style="0"/>
<startPoint exp="E"/>
<labelOffset x="-33" y="3"/>
</element>
<expression label="text7" exp=""分母""/>
<element type="text" label="text7">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="0.875" size="-2" style="0"/>
<startPoint exp="D"/>
<labelOffset x="-33" y="5"/>
</element>
<element type="boolean" label="o1">
<value val="false"/>
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="837" y="101"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<expression label="text15" exp="a + " ÷ \frac{" + b' + "}{" + a' + "} "" />
<element type="text" label="text15">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(a' > b') ∧ o1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.375" size="6" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="715" y="81"/>
</element>
<command name="Polygon">
<input a0="B" a1="(b' / a', y(B))" a2="(b' / a', y(B) + 1)" a3="(x(B), y(B) + 1)"/>
<output a0="poly4" a1="poly4_1" a2="poly4_2" a3="poly4_3" a4="poly4_4"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly4">
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="b' < a'"/>
<objColor r="153" g="153" b="255" alpha="1.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="poly4_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="102" g="102" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="0.75" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly4_2">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="102" g="102" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.0" y="0.0" z="0.75"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly4_3">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="102" g="102" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-0.75" z="0.75"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="poly4_4">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="102" g="102" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.0" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<expression label="show1" exp="(x(C) ≤ 1) ∨ If[2 * b' / a' > 1, If[x(C) < 2 * b' / a', true, false], If[x(C) < 3 * b' / a', true, false]]" />
<element type="boolean" label="show1">
<value val="true"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="boolean" label="o2">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="837" y="168"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<expression label="text11" exp=""需要紙：""/>
<element type="text" label="text11">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.375" size="6" style="0"/>
<absoluteScreenLocation x="550" y="121"/>
</element>
<element type="boolean" label="o3">
<value val="false"/>
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="o1 ∧ (b' / a' ≠ floor(b' / a'))"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelOffset x="837" y="236"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a', y(B))" a1="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a' + b' / a', y(B))"/>
<output a0="b"/>
</command>
<element type="segment" label="b">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (floor(a' * x(C) / b') * b' / a' < x(C))"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="0.75" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="8" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a', y(B) + 1)" a1="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a' + b' / a', y(B) + 1)"/>
<output a0="c"/>
</command>
<element type="segment" label="c">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (floor(a' * x(C) / b') * b' / a' < x(C))"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="0.75" z="-0.75"/>
<lineStyle thickness="8" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a' + b' / a', y(B))" a1="(floor(a' * x(C) / b') * b' / a' + b' / a', y(B) + 1)"/>
<output a0="d"/>
</command>
<element type="segment" label="d">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (floor(a' * x(C) / b') * b' / a' < x(C))"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.0" y="0.0" z="1.5"/>
<lineStyle thickness="8" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(floor(a' * x(C) / b') * b' / a' + k / a', y(B)), (floor(a' * x(C) / b') * b' / a' + k / a', y(B) + 1)]" a1="k" a2="1" a3="b' - 1"/>
<output a0="list5"/>
</command>
<element type="list" label="list5">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="(x(C) ≥ a) ∧ (floor(a' * x(C) / b') * b' / a' < x(C)) ∧ (b' ≤ a')"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<pointSize val="4"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text9" exp=""+？張""/>
<element type="text" label="text9">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="紙條數目 ∧ (¬還需多少張) ∧ (x(C) ≥ a) ∧ (floor(a' * x(C) / b') * b' / a' < x(C)) ∧ (b' < a')"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.25" size="4" style="0"/>
<startPoint exp="C"/>
<labelOffset x="36" y="39"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="E" a1="(Min[x(G), x(E) + 0.2 * a'], y(G))"/>
<output a0="m_1"/>
</command>
<element type="segment" label="m_1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="1"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="0.2941602127887599" z="0.057724880672258116"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<eqnStyle style="implicit"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="D" a1="(x(D) + 0.5, y(D))"/>
<output a0="e_1"/>
</command>
<element type="segment" label="e_1">
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<expression label="text19" exp="" = \frac{" + a' + "}{" + b' + "}"" />
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<expression label="text17" exp="" = \frac{" + a' + "}{" + b' + "}（張）"" />
<element type="text" label="text17">
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<expression label="text12" exp=""=" + (floor(a' / b')) + "\frac{" + (Mod[a * a', b'] / gcd) + "}{" + (b' / gcd) + "}（張）"" />
<element type="text" label="text12">
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<expression label="text13" exp=""=" + (a' / b') + "（張）"" />
<element type="text" label="text13">
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<expression label="text18" exp=""=\frac{" + (Mod[a * a', b'] / gcd) + "}{" + (b' / gcd) + "}（張）"" />
<element type="text" label="text18">
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<expression label="text20" exp="a + " ÷" + (floor(b' / a')) + "\frac{" + (b' - a' * floor(b' / a')) + "}{" + a' + "} "" />
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<expression label="text21" exp=""=" + a + " ÷ \frac{" + b' + "}{" + a' + "} "" />
<element type="text" label="text21">
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<expression label="text22" exp="" = \frac{" + a' + "}{" + b' + "}"" />
<element type="text" label="text22">
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<expression label="text25" exp="a + "÷" + (b' / a')" />
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<expression label="text26" exp=""=" + (a' / b') + "（張）"" />
<element type="text" label="text26">
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<expression label="text27" exp="" = \frac{" + (a' / gcd) + "}{" + (b' / gcd) + "}（張）"" />
<element type="text" label="text27">
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<expression label="text29" exp=""1 張""/>
<element type="text" label="text29">
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<expression label="text30" exp=""\frac{1}{2}張""/>
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<expression label="text28" exp=""\frac{" + (floor(x(C) * a')) + "}{" + b' + "}張"" />
<element type="text" label="text28">
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<command name="Polygon">
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<element type="polygon" label="poly5">
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<element type="segment" label="p_1">
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<command name="Segment">
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<command name="Polygon">
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<command name="Sequence">
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<command name="Sequence">
<input a0="Segment[(j / a', y(A)), (j / a', y(A) + 1)]" a1="j" a2="1" a3="a' - 1"/>
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<element type="list" label="list6">
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<expression label="text31" exp=""分為 份""/>
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<expression label="text36" exp=""1格分為 份，1張紙條佔了 份""/>
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<expression label="text37" exp=""" + a'" />
<element type="text" label="text37">
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<expression label="text38" exp=""" + b'" />
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<element type="numeric" label="g">
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<element type="numeric" label="j">
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<element type="numeric" label="u">
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<expression label="fr" exp="f * r" />
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<expression label="number" exp="g + u / j" />
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</element>
<command name="Polygon">
<input a0="H" a1="H + (number, 0)" a2="H + (number, 1)" a3="H + (0, 1)"/>
<output a0="poly7" a1="h_2" a2="q_1" a3="r_1" a4="s_1"/>
</command>
<element type="polygon" label="poly7">
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.13"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<element type="segment" label="h_2">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="4.5" z="-18.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="q_1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.0" y="0.0" z="4.5"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="r_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="0.0" y="-4.5" z="22.5"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="segment" label="s_1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="1.0" y="0.0" z="0.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="0" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="floor(number) ≟ number" a1="true" a2="false"/>
<output a0="integer"/>
</command>
<element type="boolean" label="integer">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Polygon[H + (i, 0), H + (i + 1, 0), H + (i + 1, 1), H + (i, 1)]" a1="i" a2="0" a3="If[integer, floor(number) - 1, floor(number)]"/>
<output a0="list8"/>
</command>
<element type="list" label="list8">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="5" type="0" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<command name="Sequence">
<input a0="Segment[H + (floor(number) + i, 0), H + (floor(number) + i, 1)]" a1="i" a2="1 / j" a3="(j - 1) / j" a4="1 / j"/>
<output a0="list9"/>
</command>
<element type="list" label="list9">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="¬integer"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="-1"/>
</element>
<expression label="nu" exp="n * u" />
<element type="numeric" label="nu">
<value val="1.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<command name="FractionText">
<input a0="number - floor(number)"/>
<output a0="text41"/>
</command>
<element type="text" label="text41">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="6.132367447592909" y="5.148442819807468" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text40" exp=""" + (floor(number)) + """ />
<element type="text" label="text40">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<startPoint x="5.95772202214941" y="4.816616465947248" z="1.0"/>
</element>
<expression label="te" exp="t * e" />
<element type="numeric" label="te">
<value val="1.0"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="text42" exp=""" + (LaTeX[g]) + "" + (LaTeX[text41]) + """ />
<element type="text" label="text42">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="6.518330240306224" y="5.159845987267744" z="1.0"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="¬integer" a1="If[g ≟ 0, text41, text42]" a2="text40"/>
<output a0="text43"/>
</command>
<element type="text" label="text43">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="6.518330240306224" y="5.159845987267744" z="1.0"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="floor(b' / a') ≟ b' / a'" a1="true" a2="false"/>
<output a0="integer2"/>
</command>
<element type="boolean" label="integer2">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
</element>
<expression label="text45" exp=""\frac{" + (LaTeX[b']) + "}{" + (LaTeX[a']) + "}"" />
<element type="text" label="text45">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="5.78610726148916" y="4.931026306387412" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text46" exp=""" + (LaTeX[floor(b' / a')]) + "\frac{" + (LaTeX[b' - a' * floor(b' / a')]) + "}{" + (LaTeX[a']) + "}"" />
<element type="text" label="text46">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="true" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="6.472566304130159" y="4.931026306387412" z="1.0"/>
</element>
<expression label="fl" exp="f * l" />
<element type="numeric" label="fl">
<value val="0.25"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.1"/>
<auxiliary val="true"/>
</element>
<expression label="text47" exp=""" + (floor(b' / a')) + """ />
<element type="text" label="text47">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<startPoint x="7.159025346771155" y="4.587796785066914" z="1.0"/>
</element>
<command name="If">
<input a0="¬integer2" a1="If[floor(b' / a') ≠ 0, text46, text45]" a2="text47"/>
<output a0="text48"/>
</command>
<element type="text" label="text48">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.0" size="0" style="0"/>
<startPoint x="5.78610726148916" y="4.931026306387412" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text1" exp=""1""/>
<element type="text" label="text1">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint x="-0.7107488829542187" y="2.4617360549781107" z="1.0"/>
</element>
<element type="boolean" label="v">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="¬integer2"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="230" y="337"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="等分"/>
</element>
<element type="boolean" label="z">
<value val="false"/>
<show object="false" label="true"/>
<condition showObject="(¬integer2) ∧ (b' > a')"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="230" y="512"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<caption val="等分"/>
</element>
<command name="Segment">
<input a0="B + (1, 0)" a1="B + (1, 1)"/>
<output a0="t_1"/>
</command>
<element type="segment" label="t_1">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="z ∧ (¬integer2) ∧ (b' > a')"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<coords x="-1.0" y="0.0" z="1.0"/>
<lineStyle thickness="2" type="10" typeHidden="1"/>
<outlyingIntersections val="false"/>
<keepTypeOnTransform val="true"/>
</element>
<element type="point" label="Position1">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="4.25" y="3.25" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="Position2">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="4.25" y="2.0" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<element type="point" label="Position3">
<show object="false" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="255" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<animation step="0.1" speed="1" type="1" playing="false"/>
<coords x="4.25" y="0.75" z="1.0"/>
<pointSize val="3"/>
<pointStyle val="0"/>
</element>
<expression label="text44" exp=""" + (LaTeX[text43]) + """ />
<element type="text" label="text44">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint x="-0.7206650000212349" y="4.72104708189561" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text14" exp=""" + (LaTeX[text48]) + """ />
<element type="text" label="text14">
<show object="true" label="false"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.25" size="4" style="0"/>
<startPoint x="-0.7172807712552567" y="0.970349252622246" z="1.0"/>
</element>
<expression label="text8" exp=""1 \; 包含了多少個 \; " + (LaTeX[text48]) + " ?"" />
<element type="text" label="text8">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="u_1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="0"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.375" size="6" style="0"/>
<startPoint exp="Position2"/>
</element>
<element type="boolean" label="u_1">
<value val="true"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="651" y="9"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[v_1, !u_1]"/>
<caption val="包含"/>
</element>
<expression label="text16" exp=""1 \; 是 \; " + (LaTeX[text48]) + " \; 的多少倍？"" />
<element type="text" label="text16">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="v_1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint exp="Position2"/>
</element>
<expression label="text23" exp=""" + (LaTeX[text43]) + " \; 是 \; " + (LaTeX[text48]) + " \; 的多少倍？"" />
<element type="text" label="text23">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="v_1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint exp="Position3"/>
</element>
<element type="boolean" label="v_1">
<value val="false"/>
<show object="true" label="true"/>
<objColor r="255" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelOffset x="760" y="9"/>
<labelMode val="0"/>
<checkbox fixed="true"/>
<ggbscript onUpdate="SetValue[u_1, !v_1]"/>
<caption val="倍"/>
</element>
<expression label="text24" exp=""" + (LaTeX[text43]) + " \; 是 \; 1 \; 的多少倍？"" />
<element type="text" label="text24">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="v_1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint exp="Position1"/>
</element>
<expression label="text2" exp=""" + (LaTeX[text43]) + " \; 包含了多少個 \; 1？"" />
<element type="text" label="text2">
<show object="true" label="false"/>
<condition showObject="u_1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint exp="Position1"/>
</element>
<expression label="text" exp=""" + (LaTeX[text43]) + " \; 包含了多少個 \; " + (LaTeX[text48]) + "？"" />
<element type="text" label="text">
<show object="true" label="true"/>
<condition showObject="u_1"/>
<objColor r="0" g="0" b="0" alpha="0.0"/>
<layer val="2"/>
<labelMode val="0"/>
<fixed val="true"/>
<isLaTeX val="true"/>
<font serif="false" sizeM="1.4" size="7" style="0"/>
<startPoint exp="Position3"/>
</element>
</construction>
</geogebra>